提示:此条目页的主题不是
超限數。
在數論中,超越數(英語:transcendental number)是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根,它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。
幾乎所有的實數和複數都是超越數,這是因為代數數的集合是可數集,而實數和複數的集合是不可數集之故。
超越數是代數數的相反,也即是說若
是一個超越數,那麼對於任何整數
都符合:
![{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294af8f00b79ba2dc6a971a0df5b736bd6d614eb)
(其中
)
超越數的例子包括:
- 錢珀瑙恩數
- 刘维尔数:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31237d27bfd9c8d9031b5378772c60309b8d1b1d)
它是第一個確認為超越數的數,是於1844年刘维尔發現的。
- 自然對數底
(参见:e)。
,其中
是除0以外的代數數。
(参见:圓周率)
林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因
是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
(参见:e的π次方)
(参见:2的√2次方)。
更一般地,若
為零和一以外的任何代數數及
為無理代數數則
必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
(参见:正弦)
(参见:自然对数),其中
為一不等于1的正有理數。
(参见:朗伯W函數),其中
為一正有理數。
,
及
(參見伽傌函數)。
所有超越數構成的集是一個不可數集,也就是說,幾乎所有的實數和複數都是超越數;儘管如此,現今發現的超越數極少,甚至连
是不是超越数也不知道,因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。
超越數的證明,給數學帶來了大的變革,解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題,即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現,這三大問題被證明為不可能。
以下數仍待證明為超越數或代數數:
- 數 e 和
的大多數和、積、冪等等,例如
,
,
,
,
,
,
,
,
尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是
,
和
(對於所有正整數
)已被證明是超越數[1][2]
- 欧拉-马歇罗尼常数
,尚未被證明是無理數
- 卡塔兰常数,未被證明是無理數
- 阿培里常数
,是无理数
- 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值,
(尚未被證明是無理數)
- 費根鮑姆常數,
與
,皆未证明是否为无理数
- 米尔斯常数,未证明是否为无理数
- 辛钦常数,未证明是否为无理数
- 科普兰-埃尔德什常数,是无理数
猜想:
簡要地證明
是超越數
[编辑]
第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:
為尋找矛盾,假設
是代數數。那就存在一個有限的整係數集
滿足下列等式:
![{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06edd1dbf4bc5d7d08780fc4adb1cae268548a10)
現在對於一個正整數
,我們定義如下的多項式:
![{\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588cc6364e878ac16d2e26e682c190d1b9aa5fc9)
並在上述等式的兩端乘上
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f848a64338a7e46152c3e8c0081a327b030d9eb1)
於是我們得到等式:
![{\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a62612f14a3531c0fb7ea6a090ba86e6124289)
該等式可以寫成這種形式
![{\displaystyle P+Q=0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc962c0046e0bc411f1c2a619803b8a08c2fca9)
其中
![{\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647a78e2a26d576113965f3ad5be200a2c756004)
![{\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cb1730c0fddae64b8a04d5591f0352bd1f107)
引理 1. 對於恰當選擇的
,
是非零整數。
證明: P 的每一項都是整數乘以階乘的和,這可以從以下的關係式得出
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72860c2e01b2cc0fdf4ac8e4ab2e720f660aeb90)
對於任何正整數 j 成立(考慮Γ函数)。
它是非零的,因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ,
![{\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc4da49114be73b1a08251273a32b838a726427)
中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和,在積分中用 x - a 替換 x 后, x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af703931cc8fe7a34c750ba1ed3089e2f9b901dc)
其中 k+1 ≤ j ,而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后,我們得到模 (k+1) 得 0 的數。不過,我們可以寫成:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e747e1b39a323845623c69a1afacb5d9251232bf)
於是
![{\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e393b3c96bcc1cd130891495c45a01be181f0b85)
通過選擇 k ,使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數,我們可以得出
模 (k+1) 為非零,從而該數為非零整數。
引理 2. 對於充分大的 k ,
。
證明: 注意到
![{\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ad4591c2ca9714921f790e51c5ea325d311b62)
使用
和
在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ,我們可以推出
![{\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11197d14840d8dd40dcb0a2c5f068f725054e06)
從而
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba3917af79a71d06581916f461d533b0a91d82d)
於是有
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2089dfbae1c83afc9f267ad3a55670b018c84931)
這點足以完成對引理的證明。
注意可以選擇滿足兩個引理的
,從而我們能得出矛盾。進而得以證明
的超越性。
库尔特·马勒在1932年把超越數分為3類,分別叫做S數、T數和U數[3]。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。
一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數
,可以使得一次多項式
盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的
,
是滿足
,
以正整數
為界的整數。
令
為這些多項式所取的最小非零絕對值,並且令:
![{\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedb37b7b509a802b73b9a58dbda43880599aa25)
![{\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e358115bc8336f6fa6307bf0f7106133ff73ac12)
常稱為實數
的無理性度量(measure of irrationality)。對於有理數
,而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。
接下來考慮多項式對於複數
的取值,這些多項式係數為整數,次數至多為
,而且高至多為
,此處的
,
是正整數。
令
為以
為變量的上述多項式所取的最小非零值,並且令:
![{\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9d175c97c6c1eeb5656a6f067d3c882bd92812)
![{\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0221f7f88776d2d07d1124d38a69273652c71e5)
假如對於盡可能小的正整數
,
為無窮大,則這種情況下複數
稱為
次的U數。
現在我們可以定義
![{\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff366602104496b8cbb5c8b44a70ffa5e7f69f3)
常稱為
的超越性度量(measure of transcendence)。假如
有界,則
有限,
稱為S數。如果
有限而無界,則
稱為T數。
為代數數當且僅當
。
顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克在1953年構造了任意次數的U數[4][5]。劉維爾數是不可數集,從而U數也是。它們的測度為 0 [6]。
T數組成的集合測度亦為 0 [7]。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數[8]。馬勒證明了當
為任意非零代數數時
均為S數[9][10]:這點揭示了
是S數且給出了
的超越性證明。對於
我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。
兩個數
,
稱為代數相關,當存在 2 個變量的整係數非零多項式
滿足
。一個有力的定理指出,屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的[5][11]。這允許我們構造新形式的超越數,例如劉維爾數與
或
的和。
通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下來的兩個字母。
Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類[3][12]。
考慮用次數
且高
的代數數逼近複數
。令
為該有限集中滿足
取最小正值得代數數。定義
和
如下:
![{\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068f203b58377f4d062dd4aa6add9ebf47d94642)
![{\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0af472622485280607f5af0c303fa68fcc328)
若對於最小的正整數
,
為無窮大,則稱
為
次的U*數。
若
有界且不收斂到 0 ,則則稱
為S*數,
一個數
被稱為 A*數 ,當
收斂到 0 。
若所有的
均為有限但無界,則稱 x 為T*數,
Koksma和馬勒的分類是等價的,因為它們將超越數以同樣的方式分類[12]。A*數就是代數數[8]。
令
![{\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc5f4fe33314fa0f681d54963105955a2eeb6bf)
可以證明
(劉維爾數)的
次方根是
次的U數[13]。
此構造可以改進以建立
次U數的不可數個系列。令
為上述
的級數中 10 的冪次的集合。
所有子集的集合是不可數的。在表示
的級數中刪去任意一個
的子集,將產生不可數個顯然的劉維爾數,它們每一個的
次方根都是次數為
的U數。
數列
的上界稱為類型(type)。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數,此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數,此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出,於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明[4]。
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Irrational Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. (原始内容存档于2015-04-02).
- ^ 3.0 3.1 Bugeaud (2012) p.250
- ^ 4.0 4.1 Baker (1975) p. 86.
- ^ 5.0 5.1 LeVeque (2002) p.II:172
- ^ Burger and Tubbs, p. 170.
- ^ Burger and Tubbs, p. 172.
- ^ 8.0 8.1 Bugeaud (2012) p.251
- ^ LeVeque (2002) pp.II:174–186
- ^ Burger and Tubbs, p. 182.
- ^ Burger and Tubbs, p. 163.
- ^ 12.0 12.1 Baker (1975) p.87
- ^ Baker(1979), p. 90.
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| 可數集 |
- 自然数 (
)
- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 規矩數
- 代數數 (
)
- 周期
- 可計算數
- 可定义数
- 高斯整數 (
)
- 艾森斯坦整数
|
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| 合成代數 |
- 可除代數:实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
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| 凯莱-迪克森结构 |
- 实数 (
)
- 複數 (
)
- 四元數 (
)
- 八元数 (
)
- 十六元數 (
)
- 三十二元數
- 六十四元數
- 一百二十八元數
- 二百五十六元數……
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| 分裂 形式 | |
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| 其他超複數 | |
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| 其他系統 | |
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