拥有不同范数的单位圆
范数(英语:Norm),是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面,半范数(英语:seminorm)可以为非零的向量赋予零长度。
举一个简单的例子,一个二维度的欧几里得空间
就有欧氏范数。在这个向量空间的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡尔座标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。
拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样,拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。
假设V是域F上的向量空间;V的半范数是一个函数
,满足:
,
(具有半正定性)
(具有绝对一次齐次性)
(满足三角不等式,或称次可加性)
范数是一个半范数加上额外性质:
- 4.
,当且仅当
是零向量(正定性)
如果拓扑向量空间的拓扑可以被范数导出,这个拓扑向量空间被称为赋范向量空间。
- 所有范数都是半范数。
- 平凡半范数,即
。
- 绝对值是实数集上的一个范数。
- 对向量空间上的次线性型f可定义一个半范数:
。
绝对值范数为
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f40f5229ae8d0e888f6ada86f7009e588aef0)
是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。
绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。
在n维欧几里德空间
上,向量
的最符合直觉的长度由以下公式给出
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aa64b52c9ebd19d47552eae57ec4a05cf43e67)
根据毕氏定理,它给出了从原点到点
之间的(通常意义下的)距离。欧几里德范数是
上最常用的范数,但正如下面举出的,
上也可以定义其他的范数。然而,以下定义的范数都定义了同一个拓扑结构,因此它们在某种意义上都是等价的。
在一个n维复数空间
中,最常见的范数是:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44df636089a87ee8c7108d0d8496c5584d607686)
以上两者又可以以向量与其自身的内积的平方根表示:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e47e02de78cef4d765a9559720cbd934fbeb4f0)
其中x是一个列向量(
),而
表示其共轭转置。
以上公式适用于任何内积空间,包括欧式空间和复空间。在欧几里得空间里,内积等价于点积,因此公式可以写成以下形式:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}](http://178.128.105.246/content-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baae89166bf0be5fd7d3fc717410e17732f05ef5)
特别地,
中所有的欧几里得范数为同一个给定正实数的向量的集合是一个n维球面。
如果将复平面看作欧几里得平面
,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为模)。这样,我们可把
视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为
(最初由欧拉提出)。
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