Ebene (Mathematik)

unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt

Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

  • Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und flach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese verlaufende Gerade vollständig in der Ebene liegt.
  • Zweidimensional bedeutet, dass – abgesehen von enthaltenen Geraden – kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigenschaft hat.
Die 3 Koordinatenebenen

Konkreter bezeichnet man mit Ebene, je nach Teilgebiet der Mathematik, allerdings durchaus verschiedene Objekte.

Ebene als eigenständiges Objekt

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Kleinste projektive Ebene (sieben Punkte, sieben Geraden)
 
Kleinste affine Ebene (vier Punkte, sechs Geraden)

Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid

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In der klassischen Geometrie etwa im Sinne von Euklids Elementen bildet die (euklidische) Ebene – in diesem Zusammenhang üblicherweise mit dem bestimmten Artikel bezeichnet – den Rahmen geometrischer Untersuchungen, etwa für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Man kann sie sich vorstellen als Abstraktion der Zeichenebene (Papier) als unendlich ausgedehnt und unendlich flach, so wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist. Die euklidische Geometrie wird heutzutage durch Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie beschrieben.

Seit Descartes die euklidische Ebene mit Koordinaten versehen hat, kann man die euklidische Ebene mit der Menge   aller geordneten Paare reeller Zahlen identifizieren. Oder andersherum:   bildet ein Modell für die Hilbertschen Axiome der Ebene. Dieser reelle Vektorraum wird daher ebenfalls als Ebene bezeichnet.

Die Projektive Ebene

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Ergänzt man Euklids affine Ebene um eine unendlich ferne Gerade und auf ihr liegende unendlich ferne Punkte, erhält man eine projektive Ebene.

Auch die projektive Ebene lässt sich algebraisch beschreiben, nämlich als die Menge aller eindimensionalen Unterräume im  . Man fasst also die durch den Ursprung verlaufenden Geraden als Punkte der projektiven Ebene auf. Die Geraden der projektiven Ebene sind dann genau die zweidimensionalen Untervektorräume von  , also die durch den Ursprung verlaufenden „herkömmlichen“ Ebenen.

Verallgemeinerungen

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Schwächt man das Hilbertsche Axiomensystem ab, so sind sogar endliche Strukturen möglich, die auch als affine Ebene oder projektive Ebene bezeichnet werden. Die Abbildung rechts zeigt eine endliche projektive Ebene mit sieben Punkten und sieben Geraden. Durch Entfernen einer beliebigen Gerade und der auf ihr liegenden Punkte erhält man eine endliche affine Ebene mit vier Punkten und sechs Geraden.

In Verallgemeinerung des kartesischen Modells der euklidischen Ebene wird auch für beliebige Körper   der zweidimensionale Vektorraum   als affine Ebene bezeichnet; entsprechend für die projektive Ebene. Man beachte: Ist   der Körper   der komplexen Zahlen, die ja durch die Gaußsche Zahlenebene veranschaulicht werden, so ist bereits   (reell) zweidimensional, wird aber als komplexe Gerade bezeichnet. Die Ebene   ist reell vierdimensional, aber nur ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum. Der Körper   kann auch ein endlicher Körper sein. Im Fall   erhält man die oben beschriebene kleinste endliche affine Ebene mit vier Punkten bzw. die projektive Ebene mit sieben Punkten.

Eine Fläche im Sinne der Topologie ist die Ebene (auch die projektive) nur im Fall  ; im Falle   handelt es sich um eine komplexe Fläche.

Ebene als Teilraum

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Zwei sich schneidende Ebenen

Betrachtet man höherdimensionale geometrische Räume, so bezeichnet man jeden Teilraum, der isomorph zu einer Ebene im obigen Sinne ist, als eine Ebene. In einem dreidimensionalen Euklidischen Raum ist eine Ebene dabei festgelegt durch

  • drei nicht kollineare Punkte
  • eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt
  • zwei sich schneidende Geraden oder
  • zwei echt parallele Geraden

Liegen zwei Geraden windschief zueinander, so liegen sie dagegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Stattdessen gibt es dann zwei parallele Ebenen, deren jede je eine der Geraden enthält.

Zwei Ebenen sind entweder parallel, schneiden sich in einer Geraden oder sind identisch. Sie können im (dreidimensionalen) Raum also nicht windschief zueinander liegen.

  • Im ersten Fall ist jede zur ersten Ebene senkrechte Gerade auch senkrecht zur zweiten. Die Länge der Strecke, die die Ebenen auf solch einer Geraden begrenzen, bezeichnet man als den Abstand der Ebenen.
  • Im zweiten Fall betrachtet man eine zur Schnittgeraden senkrechte Ebene. Mit dieser schneiden sich die beiden ersten Ebenen in zwei Geraden. Den Winkel zwischen diesen Geraden bezeichnet man als Winkel zwischen den beiden Ebenen.

Jeder zweidimensionale Untervektorraum des Koordinatenraums   (bzw.  ) bildet eine Ursprungsebene, also eine Ebene, die den Nullpunkt des Raums enthält. Affine zweidimensionale Unterräume sind parallel verschobene Ebenen, die den Nullpunkt nicht enthalten.

Nicht jedes unter den Begriff der Ebene fallende mathematische Objekt lässt sich als Teilraum eines entsprechenden höherdimensionalen Raumes auffassen. So ist etwa die Moulton-Ebene eine affine Ebene, in der der Satz von Desargues nicht gilt, während er in jedem dreidimensionalen affinen Raum – und damit in jeder enthaltenen Ebene – immer gilt.

Ebenengleichungen

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Darstellung einer Ebene in Parameterform

Ebenen im dreidimensionalen Raum können auf verschiedene Weise durch Ebenengleichungen beschrieben werden. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem, deren Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. Man unterscheidet explizite Formen von Ebenengleichungen, bei denen jeder Punkt der Ebene direkt identifiziert wird, und implizite Formen, bei denen die Punkte der Ebene indirekt durch eine Bedingung charakterisiert werden. Zu den expliziten Formen gehören die Parameterform und die Dreipunkteform, zu den impliziten Formen die Normalenform, die Hessesche Normalform, die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform.

Bei der Beschreibung von Ebenen in höherdimensionalen Räumen behalten die Parameterform und die Dreipunkteform ihre Darstellung, wobei lediglich mit  -komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Durch die impliziten Formen wird allerdings in höherdimensionalen Räumen keine Ebene mehr beschrieben, sondern eine Hyperebene der Dimension  . Jede Ebene kann jedoch als Schnitt von   Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren dargestellt werden und muss demnach ebenso viele Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.

Schnittpunkte im dreidimensionalen Raum

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Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

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Schnittpunkt: Gerade – Ebene

Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung   und eine Ebene durch eine Gleichung   beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung

 

für den Parameter   des Schnittpunktes  . Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle   erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.[1]

Schnittpunkt dreier Ebenen

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Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen   gegeben und soll mit einer dritten Ebene   geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen   mit linear unabhängigen Normalenvektoren   besitzen den Schnittpunkt

 

Zum Beweis überzeuge man sich von   unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt.[1]

Abstand zwischen Punkt und Ebene

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Der Abstand zwischen dem Punkt   und der Ebene mit der Koordinatenform   beträgt:

 

Wenn drei Punkte  ,  ,   gegeben sind, durch die die Ebene verläuft (siehe Dreipunkteform), dann lässt sich der Abstand mit folgender Formel berechnen:

 

Dabei steht   für das Kreuzprodukt,   für das Skalarprodukt und   für den Betrag des Vektors. Alternativ kann man auch

 
 
 
 

einsetzen.[2]

Siehe auch

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  • lernzentrum.de Erklärungen zu Geraden, Ebenen, ihrer gegenseitigen Lage, Abständen und Winkeln mit frei drehbaren dreidimensionalen Applets

Einzelnachweise

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  1. a b CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
  2. Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance