- Buchstaben am Anfang des Alphabets stehen für beliebige Zahlen.
- Buchstaben in der Mitte des Alphabets stehen für natürliche Zahlen.
- Buchstaben am Ende des Alphabets stehen für Variablen.
- Es gilt die Operatorrangfolge (Punktrechnung vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
- Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.
Addition
- (Summand + Summand = Summe)
Subtraktion
- (Minuend − Subtrahend = Differenz)
Multiplikation
- (Faktor · Faktor = Produkt)
Division
- (Dividend : Divisor = Quotient)
- Die Division durch null ist dabei nicht definiert.
-
-
-
-
Assoziativgesetze
-
-
Kommutativgesetze
-
-
Distributivgesetze
-
-
Neutralität von und
-
-
-
-
-
Definition
- (Zähler : Nenner)
- Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.
Spezialfälle
- Stammbruch:
- Echter Bruch:
- Unechter Bruch:
- Scheinbruch: mit einer ganzen Zahl
- Kehrbruch: und werden vertauscht
Vorzeichen
-
-
Erweitern und Kürzen
- für
Addition
-
Subtraktion
-
Multiplikation
-
Division
-
Definitionen
- (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)
- (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)
Prozentsätze häufig benutzter Anteile
Anteil am Grundwert
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Prozentsatz
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1 % |
2 % |
2,5 % |
4 % |
5 % |
6,25 % |
≈6,67 % |
≈8,33 % |
≈9,09 % |
10 %
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Anteil am Grundwert
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Prozentsatz
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≈11,11 % |
12,5 % |
≈14,29 % |
≈16,67 % |
20 % |
25 % |
≈33,33 % |
50 % |
≈66,67 % |
75 %
|
Definitionen
Natürlicher Exponent:
- (Potenz = Basis hoch Exponent)
Negativer Exponent:
-
Rationaler Exponent:
-
Hierbei ist eine nichtnegative rationale Zahl und sind natürliche Zahlen.
Spezialfälle
- für , siehe Null hoch null
- für
Potenzgesetze
-
-
-
-
-
Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.
Definition
- (n-te Wurzel, a heißt Radikand, n Wurzelexponent)
- Hierbei ist eine nichtnegative reelle Zahl und eine natürliche Zahl größer als eins
Spezialfälle
- (Quadratwurzel)
- (Kubikwurzel)
Wurzelgesetze
-
-
-
-
-
-
-
Definition
- (Logarithmus der Zahl a zur Basis b)
- Hierbei sind positive reelle Zahlen.
Spezialfälle
- (binärer Logarithmus)
- (natürlicher Logarithmus)
- (dekadischer Logarithmus)
-
-
Logarithmengesetze
-
-
-
-
Definition
-
Eigenschaften
-
-
- (Dreiecksungleichung)
Definition
-
Eigenschaften
- für
-
-
Definitionen
- (Abrundung)
- (Aufrundung)
Eigenschaften
-
-
-
-
Lösen von Gleichungen
-
-
-
- für
- für
- für jede bijektive Funktion
Allgemeine Form
-
Lösungen
- falls
- keine Lösung falls
- unendlich viele Lösungen falls
Allgemeine Form
- mit
Diskriminante
-
Lösungen
- falls
- falls
- keine reelle Lösung falls
Quadratische Ergänzung
-
p-q-Form
-
Diskriminante
-
Lösungen
- falls
- falls
- keine reelle Lösung falls
Satz von Vieta
-
-
Allgemeine Form
-
Lösungen
- als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden (Fundamentalsatz der Algebra)
Zerlegung in Linearfaktoren
-
Polynomdivision
- wobei
- wobei
Lösen von Ungleichungen
-
-
-
-
-
-
- Die Umformungsregeln gelten analog auch für .
Dreiecksungleichung
- für alle
Bernoullische Ungleichung
- für und
Youngsche Ungleichung
- für und mit
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
- für und
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
- für und
Darstellung
- mit Realteil , Imaginärteil und der imaginären Einheit
- (Komplexe Konjugation)
Potenzen der imaginären Einheit
-
-
-
-
Allgemein für :
-
-
-
-
Arithmetische Operationen
-
-
-
- für
Darstellung
- mit dem Betrag und dem Argument
Betrag
-
Argument
-
- oder
-
Darstellung
- mit der eulerschen Zahl
- (Eulersche Formel)
Umrechnungsformeln
-
-
Arithmetische Operationen
-
-
-
Potenzen
-
Wurzeln
- für (Einheitswurzeln)
- für
-
-
-
-
-
- (Teleskopsumme)
- (Gaußsche Summenformel)
-
Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
-
-
-
- Für weitere Potenzsummen siehe Faulhabersche Formel.
Binomischer Lehrsatz
-
Multinomialtheorem
-
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
- für alle und
Tschebyscheff-Ungleichungen
- für alle und
- für alle und
Minkowski-Ungleichung
- für alle und sowie
Hölder-Ungleichung
- für alle und sowie mit
Jensensche Ungleichung
- für jede konvexe Funktion , mit und alle