A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.
Bármely valós vektor esetén
![{\displaystyle a=\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b695629b57807ee4079eb1d51e4a4d29d95cea6)
az x1,…,xn számok „a-közepe” [a] a következő:
![{\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\pi _{n}}^{a_{n}},}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7562989a16b217dcbd19934e1f3dddeeb3bb296)
ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.
Két n dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dots \geq a_{n}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93c8d39cb70512b1b664756ec1a3efabffe7bf4)
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \dots \geq b_{n}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0268eb66d31c09bcb7c73f5ca34997d386fb360e)
Minden x1,…,xn nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:
![{\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634e29f6051e3c940452c0d0b51ff322342fa25)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72721741ce00507e60320b247c77dfe0f9164d38)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bba41d1901b5d9e5bd20a4271aa33f96f9b086)
![{\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434e5c96a708d341fc69a1ca71c00726d6160f1f)
![{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n-1}\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7b464c44f0f7d7b9a81bb830a35334cdca13e9)
![{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a88c4e4f5c7749bf4d29fd19c9bdbe09288734)
Legyen a két vektor, a és b, a következő:
![{\displaystyle a=\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d935dc4233a3c7be6b6cd38cc474bf6cfe1d47)
![{\displaystyle b=\left(1,0,0,\dots ,0\right).}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96c460085255f87aa45b07e47d1934beeb74604)
A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen
![{\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634e29f6051e3c940452c0d0b51ff322342fa25)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72721741ce00507e60320b247c77dfe0f9164d38)
![{\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc33b2932243eac067cf68d616b0a88f1919514)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}\leq b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n-1}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ed80c1694c9243e30bac8a940de2f4996628bd)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\dots +b_{n}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a8ffb1fa1107db7e4e4884b7366bf9b62770a0)
Ekkor tetszőleges x1,…,xn nemnegatív számok esetén
![{\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{\frac {1}{n}}\cdots x_{\pi _{n}}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a3ffb38f9990cc5abba4074f438795af8a4662)
és
![{\displaystyle [b]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{1}x_{\pi _{2}}^{0}\cdots x_{\pi _{n}}^{0}={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right),}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148158b143f46355e94c36af54951c888c4981f)
hiszen minden xi-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-sal, így minden számot
-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right).}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a66ee4173470d6ef722b1154f9ede56f5de3931)