S Wikipedije, slobodne enciklopedije
- Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.[1]
- Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica poluprecnika b, .
- Neka je koordinatni početak u centru kružnice .
- Kružnicu ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu sa unutrašnje strane u tački presjeka sa x osom.
- Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka kada se kružnica ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je poslije vremena t ta tačka prešla u tačku ).
- Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina luka kružnice jednaka dužini luka kružnice .
- Odnosno
- Ako se kružnica ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
- pri ćemu je k brzina kotrljanja.
- Dakle, ako uzmemo da se kružnica kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo
- pa se ugao može tretirati kao vrijeme.
- Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su:
- Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
- Iz
- dobijamo
- [2]
- Neka je cio broj, odnosno , možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.
- Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.
- Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .
- Duzina luka hipocikloide je , gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i
- je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Dužina luka krive je
- Na osnovu ovoga dobijamo da je dužina luka jednog svoda hipocikloide:
- Površina hipocikloide je
- gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti stalnog kruga poluprečnika a i je broj svodova hipocikloide.
- Dokaz
- Koristićemo Grinovu teoremu
- Iz proizlazi
- U slučaju kada je
- jednačine hipocikloide (dijametra) su
- Tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku kružnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti kružno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.
- Dužina luka te hipocikloide je
- Za dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu krivu).
- Njene jednačine su
- Deltoida ima zanimljivu osobinu da odsječci njenih tangenti unutar krive imaju konstantnu dužinu tj. jedan stap te dužine bi se mogao rotirati unutar nje stalno je dodirujući.
- Deltoida ima površinu
- Dužina luka je
- Za dobijamo astroidu, sa parametarskim jednačinama:
- Porijeklo imena astroida može se naći u grčkoj riječi (asteri) čije je značenje zvijezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.
- Površina astroide je
- Dužina luka je
- Za dobijamo hipocikloidu
- Mali krug poluprečnika b 10 puta treba da obiđe veliki krug poluprečnika a da bi fiksna tačka došla u početni položaj, tj da bi hipocikloida bila zatvorena.
- Za
- Kako je odnos prečnika iracionalan, hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug
do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.
- 1725. god. Daniel Bernuli je otkrio osobinu hipocikloide poznatu kao teorema dvostruke generacije.
- Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug poluprečnika krečući se unutar istog kruga.
- Ako označimo prvu hipocikloidu sa a drugu sa
- na osnovu teoreme dobijamo da je
- Ova dva unutrašnja kruga su komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.
- Zamjenom
- odnosno
- imamo
- zamjenom redoslijeda sabiraka dobijamo
- Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete
- i parametra sa dobićemo parametarske jednačine hipocikloide
- , koje su potpuno identicne sa pocetnim jednacinama:
- Posljedica ove teoreme je
- Istu astroidu možemo dobiti i rotacijom kruga poluprečnika
i rotiracijom kruga poluprečnika unutar fiksiranog kruga poluprečnika a.
- Površina hipocikloide je
- (b je poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i je broj svodova hipocikloide, odnosno
- K je površina kotrljajuće kružnice. Pomoću hipociklogona možemo dobiti formule, čije su granične vrijednosti ekvivalentni sa ovim rezultatima.
- Neka je hipociklogon generisan sa pravilnim petnaestouglim i kotrljajućim petouglom. Površinu hipociklogona možemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvućemo m/n puta površinu koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom hipociklogona. Površina se sastoji od : trouglova, koji zajedno daju površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa M ), i kružnih isječaka.
- je površina k-tog kružnog isječka, a
- za dužine koje spajaju jedno tjeme n-ugla sa ostalim tjemenima
- Kako je ugao kružnog isječka jednak , moramo ga smanjiti za spoljašnji ugao m-ugla, tj.
- gde je R poluprečnik opisane kružnice kotrljajučeg pravilnog n-ugla.
- Posmatrajmo niz hipociklogona generisanih sa n-uglom koji se kotrlja unutar m-ugla upisan u krug poluprečnika a, tako da se odnos broja stranica pravilnih mnogouglova ne mijenja. Označimo ga sa .
- Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla .
- n-ti član generiše pravilan -ugao koji se kotrlja oko (v-ugla .
- Niz ciklogona je
- , , , ....,
- Stranice n-ugla i m-ugla su jednake dužine pa za svaki član niza vazži da je obim nepokretnog mnogougla v puta veća od kotrljajučeg.
- U graničnom slučaju zbog . To znači da smo dobili dvije kruznice, takve da je obim prve kružnice v puta manji od obima druge kružnice, tj i poluprečnici imaju odnos . Sto možemo napisati ovako:
- gdje je a poluprečnik kružnice opisane oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kružnice : oko pravilnog n-ugla
- ^ Kotrljajući hipocikloid
- ^ Hypocycloid