Abbesche Invariante

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Die Abbesche Invariante (nach Ernst Abbe; auch Invariante der Brechung, Nullvariante)[1] stellt in der paraxialen Optik den Zusammenhang zwischen objektseitiger und bildseitiger Schnittweite von Lichtstrahlen dar, die an einer Fläche gebrochen werden:[2]

mit

  • n, n' = Brechungsindex vor bzw. nach der brechenden Fläche (jeweils ' für die Bildseite)
  • r = Krümmungsradius der brechenden Fläche
  • s, s' = objektseitige bzw. bildseitige Schnittweite.

Die Gleichung besagt, dass die lineare Beziehung zwischen Brechungsindex, Kehrwert des Krümmungsradius und Kehrwert der Schnittweite vor und nach der Brechung eine konstante Größe behält.[3]

Diese Invariante ist eine Grundlage für die Ableitung von Gesetzmäßigkeiten der optischen Abbildung im achsnahen Gebiet.[3]

Herleitung der Abbeschen Invariante

In den Dreiecken ACO und ACO' bestehen folgende Beziehungen nach dem Sinussatz:

  und
 .

Die erste durch die zweite Beziehung geteilt:

 .

Mit dem Brechungsgesetz   n sinε = n' sinε' :

 .

Im paraxialen Gebiet sind die Winkel σ und σ' so klein, dass für die Strahllängen l und l' die Schnittweiten s bzw. s' gesetzt werden können. Damit erhält man:

 .

Einzelnachweise

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  1. Lexikon der Physik, Abbesche Invariante. Spektrum.de, abgerufen am 6. April 2014.
  2. Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 185/86
  3. a b Fritz Hodam: Technische Optik, VEB Verlag Technik, 2. Auflage, 1967, S. 42