Satz von Krein-Milman
![](http://178.128.105.246/host-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8e/Extreme_points.svg/220px-Extreme_points.svg.png)
Der Satz von Krein-Milman[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.
Aussage
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.[2]
Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.[3][4]
Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird:[5] Ist eine kompakte, konvexe Menge und ist so beschaffen, dass gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von ist, so sind im topologischen Abschluss von alle Extremalpunkte von enthalten.[6]
Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.
Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.
Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Banachraum der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ist kein Dualraum.
Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index mit , denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun definiert durch für und , so sind und und , das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von keine Extremalpunkte und kann daher kein Dualraum sein.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Harro Heuser: Funktionalanalysis, Theorie und Anwendung, Teubner, November 2006, 362–363.
- Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
- A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 147–149 (MR0209926).
- Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 75–77 (MR1157815).
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 418 ff.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ M. Krein, D. Milman (1940): "On extreme points of regular convex sets", Studia Mathematica 9, 133–138.
- ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75
- ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 418 ff.
- ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, S. 75 ff.
- ↑ Diese Umkehrsatz zum Krein-Milman’schen ist nicht mit dem Satz von Milman-Pettis identisch.
- ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, Berlin und Heidelberg 2007, S. 423