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Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/18/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 7 5 3 2 2 4 9 2 3 8 5 8 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Gerade in Punktvektorform im .
  2. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  3. Eine Relation auf einer Menge .
  4. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  5. Ein Winkel im Bogenmaß.
  6. Der Logarithmus zu einer reellen Basis , .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Restklassenkörper von .
  2. Der Satz über die inverse Folge zu einer Cauchy-Folge.
  3. Der Satz über die Verteilung bei einem -fachen Münzwurf.



Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.



Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu



Aufgabe * (2 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.



Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.



Aufgabe * (9 (1+1+4+2+1) Punkte)

Es sei die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge oder besitzt (Periodenlänge bedeutet Dezimalbruch).

  1. Gehört zu ?
  2. Gehört zu ?
  3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch an, ob er zu gehört oder nicht?
  4. Ist mit der Addition eine Untergruppe von ?
  5. Ist mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ?



Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.



Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .



Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

  1. Zeige die Abschätzungen
  2. Zeige die Abschätzungen
  3. Zeige die Abschätzung



Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.



Aufgabe * (8 (3+2+2+1) Punkte)

Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei einer und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine . Ein Kind, das zuvor eine oder hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit auf eine und bleibt mit Wahrscheinlichkeit bei der .

Adriane hatte zuletzt eine , dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt.
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine bekommt?
  3. Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine . Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an Kinder)?
  4. Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?