Lösung
- Es sei
ein
Körper und es sei
eine
-
Matrix
und
eine
-Matrix über
. Dann ist das Matrixprodukt
-
diejenige
-Matrix, deren Einträge durch
-
![{\displaystyle {}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54dc9320f04c814bddaab548c1c96f494326c63)
gegeben sind.
- Eine Teilmenge
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede
Äquivalenzklasse
genau ein Element aus
aus dieser Klasse gibt.
- Eine
Folge
in
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76350c876975e8af1e8b252412122a8521dccf7)
gilt.
- Die Eulersche Zahl ist durch
-
![{\displaystyle {}e=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3385b612df6c59e71005529a11a3d63bbf8193)
definiert.
- Zu einem Winkel
versteht man unter
die zweite Koordinate des
trigonometrischen Punktes
.
- Ein Laplace-Raum ist eine
endliche Menge
zusammen mit derjenigen
Wahrscheinlichkeitsdichte
-
die jedem Element
den konstanten Wert
zuweist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen
-
- Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.
- Der
Satz von Vieta.
Lösung
- Es sei
ein Körper und
. Es seien
,
,
Elemente in
. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
-
mit
-
wobei
den
-ten Standardvektor bezeichnet.
- Es sei
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl
. Es sei
eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten
ein Vielfaches von
sind. Dann gibt es keine rationale Zahl
mit der Eigenschaft
-
![{\displaystyle {}n=q^{k}\,,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e92ba44068ed1e0634803add76db6a31bf68a2e)
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt
keine
-te Wurzel.
- Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
-
![{\displaystyle {}x^{2}+px+q=0\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77c2ef7e44ea6886a0283ceb39f028473f53a2a)
gegeben und es seien
und
die Lösungen. Dann gilt
-
![{\displaystyle {}x_{1}+x_{2}=-p\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ac5dd2746e4546dc0059a53a719498265d60b4)
und
-
![{\displaystyle {}x_{1}\cdot x_{2}=q\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3ed2a118aadbc6dcd53951d47e00c25363b043)
Bestimme die
inverse Matrix
zu
-
Lösung
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|
Zeige, dass die folgende Relation eine
Äquivalenzrelation
auf
ist:
-
Lösung
Es ist
ein Teiler von
-
![{\displaystyle {}0=x-x\,,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c859a981f13159f940491854deec39955e153a)
daher ist
,
was die Reflexivität bedeutet. Sei
.
Dies bedeutet, dass
ein Teiler von
ist, was wiederum bedeutet, dass
-
![{\displaystyle {}x-y=7\cdot c\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c9ecb1d0909a4cf09b89feeb90bf817160b869)
mit einem gewissen
ist. Durch Multiplikation mit
erhält man
-
![{\displaystyle {}y-x=-(x-y)=7\cdot (-c)\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86016a888f346a85965fc10d520f92fe764ab9a5)
Also ist
auch ein Teiler von
und somit ist
,
was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
und
.
Somit ist
-
![{\displaystyle {}x-y=7c\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e29fba83826679bf572c508899336fa7ec57aa)
und
-
![{\displaystyle {}y-z=7d\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094150ff6dbdf36919839d291e26d3ef5321ce9f)
mit gewissen
. Insgesamt ergibt sich
-
![{\displaystyle {}x-z=(x-y)+(y-z)=7c+7d=7(c+d)\,,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cfab17b9fcfcf47be556b01a23c33161e2baec)
so dass auch
ein Vielfaches von
ist. Also ist
.
- Gibt es eine Primzahl
derart, dass auch
und
Primzahlen sind?
- Gibt es mehr als eine Primzahl
derart, dass auch
und
Primzahlen sind?
Lösung
- Die Zahlen
sind Primzahlen.
- Wir zeigen, dass es außer dem soeben genannten Beispiel kein weiteres Tripel mit der besagten Eigenschaft gibt. Wir betrachten die Reste von
bei Division durch
. Wenn
der Rest von
ist, so sind die beiden anderen Reste gleich
bzw.
. Somit muss eine der drei Zahlen den Rest
besitzen, also ein Vielfaches von
sein. Da
ausgeschlossen ist, können nicht alle drei Zahlen Primzahlen sein.
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus
-
Lösung
Lösung
Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach
, wobei die Induktionsvoraussetzung direkt durch die Wahl des Startwerts gesichert ist. Es gelte also
-
![{\displaystyle {}y_{n}=ux_{n}\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed9e9e43e6ca2c3c8fd2900296d10aa8590e3448)
Dann ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{n+1}&={\frac {y_{n}+{\frac {d}{y_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+{\frac {u^{2}c}{ux_{n}}}}{2}}\\&={\frac {ux_{n}+u\cdot {\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot {\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\\&=u\cdot x_{n+1}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6139938137b22b930dd0a7a2ec9e5ade31b38e9)
Ist die reelle Zahl
-
rational?
Lösung
Lösung
Man gebe ein Beispiel für eine konvergente Folge
in einem
angeordneten Körper
, die in einem größeren angeordneten Körper
-
![{\displaystyle {}K\subseteq L\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577a5c5faf9e196728ea7c3bb63a0955abf18ac2)
nicht konvergiert.
Lösung
Schreibe die Menge
-
als eine Vereinigung von möglichst wenigen disjunkten Intervallen.
Lösung
Der rechte Klammerausdruck ist leer und der linke Klammerausdruck ist
-
![{\displaystyle {}[-{\frac {5}{2}},-{\frac {1}{3}}]\,\setminus \,]-{\frac {4}{3}},-1]=[-{\frac {5}{2}},-{\frac {4}{3}}]\,\cup \,]-1,-{\frac {1}{3}}]\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622df4c3bcd2ba4fb47e39f6d61567840f516568)
Somit ist die Gesamtmenge gleich
-
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion
-
Lösung
Wir schreiben
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}f(x)&=x^{2}-5x-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {25}{4}}-9\\&={\left(x-{\frac {5}{2}}\right)}^{2}-{\frac {61}{4}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673382a57994b81d9243a1017d9e2a9a6259c2fc)
Daher ist die durch
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring
über einem Körper
.
Lösung
Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
Grad
von
. Wenn der Grad von
größer als der Grad von
ist, so ist
und
eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
ist nach der Vorbemerkung auch
,
also ist
ein konstantes Polynom, und damit ist
(da
und
ein Körper ist)
und
eine Lösung. Es sei nun
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
und
mit
. Dann gilt mit
die Beziehung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295d6edbb2a66a4b486b5373ee6537893a27ac5c)
Dieses Polynom
hat einen Grad kleiner als
und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
und
mit
-
Daraus ergibt sich insgesamt
-
![{\displaystyle {}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2ab25df331ffc1420888bfc7c650a5a9a910e6)
so dass also
und
eine Lösung ist.
Zur Eindeutigkeit sei
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
.
Da die Differenz
einen Grad kleiner als
besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
und
lösbar.
Lösung
Es sei
-
![{\displaystyle {}P=c_{n}X^{n}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e217ef30ee95539c95c51d64c410724d57fe5ec)
mit
,
,
und
.
Wir multiplizieren dieses Polynom mit
und können somit annehmen, dass
normiert ist.
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}b=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc31e3ba1808b6ed82955e62a5172232a6e1a05a)
Aus
-
![{\displaystyle {}P(z)=z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}=0\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441b0ef36dd28a5a4582b5171fccdac75ed451d7)
ergibt sich durch Multiplikation mit
direkt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}0&=b^{n}{\left(z^{n}+c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +c_{2}z^{2}+c_{1}z+c_{0}\right)}\\&=b^{n}z^{n}+b^{n}c_{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n}c_{2}z^{2}+b^{n}c_{1}z+b^{n}c_{0}\\&=b^{n}z^{n}+bc_{n-1}b^{n-1}z^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}b^{2}z^{2}+b^{n-1}c_{1}bz+b^{n}c_{0}\\&=(bz)^{n}+bc_{n-1}(bz)^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}(bz)^{2}+b^{n-1}c_{1}(bz)+b^{n}c_{0}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7905acdba48377aacc579882437cfab5646264e)
Dies bedeutet, dass
eine Nullstelle des Polynoms
-
![{\displaystyle {}Q=X^{n}+bc_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b^{n-2}c_{2}X^{2}+b^{n-1}c_{1}X+b^{n}c_{0}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba2ddba008b5de45fa82cdf28141dd46077f3a5)
ist. Dieses Polynom ist normiert und es besitzt wegen
-
![{\displaystyle {}b^{n-i}c_{i}={\left(b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}\right)}^{n-i}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff1545ee6cb8d9701d8972e2c358896f3c1f200)
ganzzahlige Koeffizienten. Somit ist
-
![{\displaystyle {}z={\frac {bz}{b}}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ade829b5d2d7a471a844fd35961831130a29954)
mit
und der Zähler
ist die Nullstelle eines normierten ganzzahligen Polynoms.
Wir betrachten das Polynom
-
![{\displaystyle {}P=1+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da95e23d691e0c4a9981322d97c3930129b0bfdf)
- Berechne die Werte von
an den Stellen
.
- Skizziere den Graphen von
auf dem Intervall
. Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion
?
- Bestimme eine Nullstelle von
innerhalb von
mit einem Fehler von maximal
.
Lösung
Lösung
Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind
-
![{\displaystyle {}(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=x^{2}-6x+y^{2}-8y+25=36\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed15197533ddcb95eedb7f2d60d3ed12df5b3e5)
und
-
![{\displaystyle {}(x+8)^{2}+(y-1)^{2}=x^{2}+16x+y^{2}-2y+65=49\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df52a49827efd114056bf588002b9f0e7d145ef)
Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt
-
![{\displaystyle {}22x+6y+40=13\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5661e2c4421b76d17637910bacaa274723b982f)
Also ist
-
![{\displaystyle {}y={\frac {-22x-27}{6}}\,.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f2b1ea0bc657f79527552e745caffe52d8d2603)
Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x^{2}-6x+{\left({\frac {-22x-27}{6}}\right)}^{2}-8{\frac {-22x-27}{6}}-11&=x^{2}+{\frac {121}{9}}x^{2}-6x+33x+{\frac {81}{4}}+{\frac {88}{3}}x+36-11\\&={\frac {130}{9}}x^{2}+{\frac {169}{3}}x+{\frac {181}{4}}\\&=0.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2cd7013a1f75ab10efa4258f30f6cd726954da)
Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {-{\frac {169}{3}}\pm {\sqrt {{\frac {28561}{9}}-4\cdot {\frac {130}{9}}\cdot {\frac {181}{4}}}}}{\frac {260}{9}}}\\&={\frac {-169\pm {\sqrt {28561-130\cdot 181}}}{\frac {260}{3}}}\\&={\frac {-3\cdot 169\pm 3{\sqrt {28561-23530}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 3{\sqrt {5031}}}{260}}\\&={\frac {-507\pm 9{\sqrt {559}}}{260}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0602773aa8ff667ec7291715ff4a3e8f98437882)
Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{1}&={\frac {-22x_{1}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507+9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169+3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&=-{\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a411aefe79524680811aa0359cad0ade0ad105f)
und
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}y_{2}&={\frac {-22x_{2}-27}{6}}\\&={\frac {-22{\frac {-507-9{\sqrt {559}}}{260}}-27}{6}}\\&=-11{\frac {-169-3{\sqrt {559}}}{260}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {11\cdot 13}{20}}-{\frac {9}{2}}\\&={\frac {33{\sqrt {559}}}{260}}+{\frac {53}{20}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7585a0adba651f51c4a13261f3db2d4ede15882)
Die Schnittpunkte sind also
-
und
-
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
aus
gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
-
![{\displaystyle {}xy\geq 48\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e578ee2583e042659a8945e5482d91c84abab815)
ist.
Lösung
Jedes Paar
besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit
. Wir müssen also zählen, wie viele der hundert Paare die Eigenschaft besitzen, dass
-
![{\displaystyle {}xy\geq 48\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e578ee2583e042659a8945e5482d91c84abab815)
ist. Dazu zählen wir, wie viele Möglichkeiten es für
bei gegebenem
gibt. Bei
-
![{\displaystyle {}x=10\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992eabdb50ab9ded0a9d8dc3d231f6865541bf63)
gibt es für
die Möglichkeiten
-
![{\displaystyle {}y=5,6,7,8,9,10\,,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f16c3dc40e0c739bb5fbb8fc15ac30cd094b7fc)
also insgesamt
Möglichkeiten. Bei
-
![{\displaystyle {}x=9\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b9a6ddae612491bd25d6b00758f0d44a077073)
gibt es
Möglichkeiten für
, bei
-
![{\displaystyle {}x=8\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6270a68f25603f6be8bf1a61171e8ae2b44da0c9)
gibt es
Möglichkeiten für
, bei
-
![{\displaystyle {}x=7\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e269fce9e77d80f7b3984656dbd9cf8b8aebe1)
gibt es
Möglichkeiten für
, bei
-
![{\displaystyle {}x=6\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edc8de7fd5c4dbece3501cee94e84202d70e618)
gibt es
Möglichkeiten für
, bei
-
![{\displaystyle {}x=5\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79821972ad2db6df76806c9929496a361f86cb2d)
gibt es
Möglichkeit für
. Insgesamt gibt es also
-
![{\displaystyle {}6+5+5+4+3+1=24\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abf79a01348bf011b42327e4aa2121a7e6fbd0a)
Möglichkeiten und somit besitzt die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt zumindest
ist, den Wert
.
Lösung
Nach
der Bayesschen Formel
gilt
-
![{\displaystyle {}P(B{|}A)={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fecabe876f1b6c004d8c7b0a2f26ed37b17ecb6)
und ebenso unter Verwendung von
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}P(M\setminus B{|}A)&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)+P(B)\cdot P(A{|}B)}}\\&={\frac {P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}{P(B)\cdot P(A{|}B)+P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ae6890c9fc3b080c8214f417cfc6e332e067a4)
Somit gilt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}&={\frac {P(B)\cdot P(A{|}B)}{P(M\setminus B)\cdot P(A{|}M\setminus B)}}\\&={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7800900d1c8308de5fd7c65742326091c2d8e6df)