Polinomo de Hermite

Polinomoj de Hermite estas polinomoj kun realaj koeficientoj, kiuj estas difine per rikuraj formuloj:

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)}$

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

Ĉi tiuj polinomoj estas uzata en priskribo de kvantuma harmonika oscilatoro.

Polinomo de Hermite estas koeficientoj apud variablo t en serio de Maclaurin de funkcio ${\displaystyle g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}}$, do estas formulo:

${\displaystyle g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

Sube estas kvar skemoj de unuaj polinomoj de Hermite:

• ${\displaystyle H_{0}(x)=\left.e^{-t^{2}+2tx}\right|_{t=0}=1}$

• ${\displaystyle H_{1}(x)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(e^{-t^{2}+2tx}\right)\right|_{t=0}=2x}$
• ${\displaystyle {\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}}$
• ${\displaystyle H_{2n+1}(0)=0}$
• ${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)}$

1. polinomoj de Czebyszew,
2. polinomoj de Laguerre,
3. polinomoj de Legendre.