Integral senoidal

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

${\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\mbox{sinc}}(t)\,dt=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt}$

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

${\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\dots }$

Algunas propiedades de la integral senoidal son:

• Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
• El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}}$

Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$.

Las diferentes definiciones son:

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \operatorname {sen} x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=0}$; ${\displaystyle {\rm {si}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \operatorname {sen} x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=\infty }$. Se debe distinguir que ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {sen} t}{t}}}$ es la Función sinc y también la función esférica de Bessel: ${\displaystyle j_{n},y_{n}}$ de orden cero. Cuando ${\displaystyle x=\infty }$, se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

${\displaystyle {\mbox{si}}(x)={\mbox{Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt}$

Se define la función integral cosenoidal como:

${\displaystyle {\mbox{ci}}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,dt}$

Las diferentes definiciones son:

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \cos x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=\infty }$. Se tiene:

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

• Integral trigonométrica cardinal
• Función sinc
• Función real
• Funciones trigonométricas

• Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingenier��a.

• Weisstein, Eric W. «Sine Integral». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .