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Identités logarithmiques

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Cet article dresse une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes.

Ces identités sont toutes valables à condition que les réels utilisés (, , et ) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Valeurs particulières

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Pour toute base , on a :

  • .
  • .

Logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une exponentiation

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Par définition des logarithmes, on a :

  • .
  • .
  • .

Ces trois identités permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, il est possible de les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Logarithme d'une somme

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En partant des égalités , et en utilisant les propriétés du logarithme d'un produit, on aboutit aux résultats ci-dessous. Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement en fonction de et en évitant des dépassements des limites numériques[réf. nécessaire].

  • .
  • , .

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

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Relation de type Chasles :

Et en particulier (pour c = a), .

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart de ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux (de base 10) et naturels (de base e).

On en déduit :

.
pour
pour
pour
pour

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

donc dans le cas particulier de la base e :

.

donc dans le cas particulier de la base e :

.

Crédit d'auteurs

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of logarithmic identities » (voir la liste des auteurs).