Suite arithmético-géométrique
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Définition
[modifier | modifier le code]On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (un)n ∈ ℕ à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :
- Remarque
- On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p[1]. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.
Terme général
[modifier | modifier le code]Cas où a = 1
[modifier | modifier le code]Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc
Cas où a ≠ 1
[modifier | modifier le code]En posant
on a :
(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).
D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :
Somme des premiers termes
[modifier | modifier le code]Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :
On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,
- .
Convergence
[modifier | modifier le code]Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0 – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).
Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.
Utilisation
[modifier | modifier le code]Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).
Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :
- .
Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (Rn) est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :
- .
On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors :
- .
De la relation
on déduit que :
- .
Comme d'autre part
- ,
en remplaçant on obtient :
- .
Notes et références
[modifier | modifier le code]- J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[réf. incomplète]
- J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 3e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne), p. 532.
- Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas a = 1 précédent et les réciproques des deux cas, la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous).