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Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz ou de Clairaut[1] est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre des deux dérivations : dériver par rapport à la variable y d'abord, puis par rapport à une variable x revient au même que dériver par rapport à la variable x d'abord puis par rapport à la variable y. Autrement dit :

Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861[réf. nécessaire] auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Théorème de Schwarz[2],[3] —  Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, et f : UF une application deux fois dérivable[4] en un point a de U. Alors, l'application bilinéaire d2fa : E×EF est symétrique.

Corollaire — Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de n. Si f est deux fois dérivable en un point, alors sa matrice hessienne en ce point est symétrique[5].

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

.

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones « Young's theorem[6] » (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur[7].

Un contre-exemple

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La fonction f ne possède pas de dérivée seconde en (0, 0).

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873[réf. nécessaire]. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884[8]. Il s'agit de la fonction définie par :

qui vérifie

[9].

Application aux formes différentielles

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Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C2 :

Alors,

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n :

toute forme exacte de classe C1 est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :

Notes et références

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  1. En France et en Belgique, il est parfois appelé théorème de Clairaut. Cf. James Stewart (trad. Micheline Citta-Vanthemsche), Analyse. Concepts et contextes, vol. 2 : Fonctions de plusieurs variables, De Boeck, , 1064 p. (ISBN 978-2-8041-5031-0, lire en ligne), p. 764.
  2. Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, Dunod, , 2e éd. (lire en ligne), p. 72.
  3. Une démonstration est disponible sur Wikiversité (voir infra).
  4. Le théorème est souvent énoncé et démontré sous l'hypothèse plus restrictive que f est de classe C2 sur U.
  5. Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 1967, rééd. 1977, p. 65-69.
  6. (en) « Young’s theorem », sur UC Berkeley, Department of Agricultural & Resource Economics (version du sur Internet Archive).
  7. (en) R. G. D. Allen, Mathematical Analysis for Economists, New York, St. Martin's Press, (lire en ligne), p. 300-305.
  8. Ernst Hairer et Gerhard Wanner (trad. de l'anglais), L'Analyse au fil de l'histoire [« Analysis by Its History »], Springer, (1re éd. 1996) (lire en ligne), p. 316-317.
  9. Ce contre-exemple est détaillé sur Wikiversité (voir infra).

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Articles connexes

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Lemme de Poincaré

Liens externes

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