Saltar ao contido

Axiomas de Birkhoff

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Os axiomas de Birkhoff son un conxunto de catro postulados establecidos por G. D. Birkhoff en 1932 para a xeometría euclidiana no plano.[1] Estes postulados están todos baseados na xeometría básica que pode ser confirmada experimentalmente cunha escala e un transportador. Como os postulados se constrúen sobre os números reais, o enfoque é semellante a unha introdución baseada nun modelo da xeometría euclidiana.

O sistema de axiomas de Birkhoff foi utilizado no libro de texto da escola secundaria de Birkhoff e Beatley.[2] Estes axiomas tamén foron modificados polo School Mathematics Study Group para proporcionar un novo estándar para o ensino da xeometría nun instituto de secundaria, coñecidos como axiomas SMSG.[3]

Algúns outros libros de texto dos fundamentos da xeometría usan variantes dos axiomas de Birkhoff .[4]

Postulados

[editar | editar a fonte]

A distancia entre dous puntos AB é denotada por  d(A, B), e o ángulo formado por tres puntos A, B, C denótase como ABC.

  • Postulado I: Postulado de medida do segmento: O conxunto de puntos{A, B, ...} sobre unha liña pódese poñer nunha correspondencia 1:1 cos números reais  De modo que |b − a| = d(A, B)  para todos os puntos A e B.
  • Postulado II : Postulado da recta por dous puntos: Hai unha e só unha liña que contén calquera dous puntos distintos dados P e Q.
  • Postulado III : Postulado de medida do ángulo: O conxunto de semirectas {ℓ, m, n, ...} que parten dun punto calquera O pode poñerse en correspondencia 1:1 cos números reais a (mod 2π) así que se A e B son puntos de e m respectivamente (distintos de O), a diferenza am − a (mod 2π) dos números asociados coas liñas e m, é AOB. Ademais, se o punto B en m varía continuamente nunha liña r que non contén o vértice O, o número am' tamén varía continuamente.
  • Postulado IV: Postulado de semellanza: Dados dous triángulos ABC e A'B'C'  e unha constante k > 0 tal que d(A', B' ) = kd(A, B), d(A', C' ) = kd(A, C) e B'A'C'  = ±∠ BAC  entón d(B', C' ) = kd(B, C), ∠ C'B'A'  = ±∠ CBA  e   A'C'B'  = ±∠ ACB.
  1. Birkhoff, George David. A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractors). pp. 329–345. 
  2. Birkhoff, George David; Beatley, Ralph (2000) [first edition, 1940]. Basic Geometry (3rd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2101-5. 
  3. "SMSG axioms". Arquivado dende o orixinal o 15 de xuño de 2013. Consultado o 15 de xuño de 2013. 
  4. Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981). The non-Euclidean, hyperbolic plane: its structure and consistency. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90552-9. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]