A Wikikönyvekből, a szabad elektronikus könyvtárból.
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69fc0502c8f960b4cd20db0ea2a2acd263b6137)
2×2-es mátrix determinánsa
![{\displaystyle \det(A)=ad-bc.\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9f32b204953860aeba15ee17d2fef9c2cdb595)
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8adc8d528325c4b87ab2625660b6e7b346ad5)
3×3-as mátrix determinánsa
![{\displaystyle \det(A)=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63614ad611d08b077ccc382d605ded1722f196cc)
ami tovább
![{\displaystyle \det(A)=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e69d534062d5e42eb6ae35193e7c19a079b67d)
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9e4aa61c83e0175ba00c2f6b512b288e02079c)
-es mátrix determinánsa
Egy négyzetes mátrix determinánsát a mátrix egy sora, vagy oszlopa szerint tudunk kifejteni. A kifejtésre rekurziós formula adható, mert az
-es mátrix determinánsának definíciójában
-es mátrixok determinánsa szerepel.
-es mátrix determinánsa önmaga: ![{\displaystyle \det(a)=a}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e51384a2991bfcfff42197d29a22026a1ca8ad)
Most az első sora szerinti kifejtést fogom részletezni. Ez azt jelenti, hogy végigmegyünk az első soron, és aszerint számolunk. Jelölje :
az i. sor és a j. oszlop elhagyásával keletkező minormátrixot! A minormátrixok determinánsát aldeterminánsnak nevezzük. A kifejtés során minden tagban a
kifejezést meg kell szorozni
-vel Ekkor a determináns az első sor szerinti kifejtést használva:
![{\displaystyle \det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+a_{13}\det(A_{13})-+...+(-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n})=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j}).\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/937bd8dc12139ebf96d3828df124636e09b10b78)
Igazolható, hogy a mátrix determinánsa bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető, az előjelváltogatást sakktábla szerint kell alkalmazni, és mindig a megfelelő elemnél vett aldeterminánst kell számolni(a sakktáblaszabály miatt volt az első sorban az előjelváltogatás):
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}+&-&+&\dots \\-&+&-&&\\+&-&+&\dots &\\\vdots &&\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18edd274dc56103f5cbe0f7450c5ab7101765d1f)
Általánosan, bármely sora vagy oszlopa szerint meghatározhatjuk a mátrix determinánsát. Az
-edik sor szerinti kifejtés
A
-edik oszlop szerinti kifejtés
Kifejtési tétel: Egy mátrix determinánsa bármely sora vagy oszlopa szerinti kifejtés esetén megegyezik.
Példa:
Legyen:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1&1&1\\4&3&6&4\\6&7&21&16\\2&3&15&23\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4012a65c5a69b3746fa1b78264f8e6ea5b2d2b)
Ekkor det(A)=12, mivel:
![{\displaystyle \det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+a_{13}\det(A_{13})-+...+(-1)^{n+1}a_{1n}\det(A_{1n}).\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e54906b4693959caae5e8b1fe7944ac635ddab3)
, azaz:
![{\displaystyle \det(A)=2{\begin{vmatrix}3&6&4\\7&21&16\\3&15&23\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}4&6&4\\6&21&16\\2&15&23\end{vmatrix}}+1{\begin{vmatrix}4&3&4\\6&7&16\\2&3&23\end{vmatrix}}-1{\begin{vmatrix}4&3&6\\6&7&21\\2&3&15\end{vmatrix}}.\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d67b6a152a6ca0e571ea97563dd720e4f8f8263)
, ahol a 3×3-as mátrixok determinánsának a kiszámítása az előző pontban már ismertetett módon történik,tehát:
![{\displaystyle \det(A)=2*(3*243-6*113+4*42)-1*(4*243-6*106+4*48)+1*(4*113-3*106+4*4)-1*(4*42-3*48+6*4).\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cc4999e2115377bd3c96959c3ef0257791522e)
- Két azonos méretű mátrix determinánsainak szorzata egyenlő a mátrixok szorzatának determinánsával:
, bármely
és
n×n mátrixra.
, ebből következik
, bármely
n×n mátrixra és bármely
skalárra.
![{\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}=1/det(A)\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89fe77e0b2af6aa0a746969c7cf77cdf7a8f21e)
- Egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanaz a determinánsa:
![{\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee152c07c3facd531169b8bb7ed1c1e7940a59c)
- Egy
mátrix determinánsa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Sorok vagy oszlopok felcserélése a determináns −1-el való szorzását okozza.
- Egy sor vagy oszlop
-el való szorzása a determináns
-el való szorzását okozza.
- Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
- A determináns nulla, ha a mátrix oszlopai vagy sorai lineárisan összefüggnek
- Ha valamelyik oszlopa vagy sora csupa nulla, akkor az előző pontból következően a determináns nulla. Ezt könnyen beláthatjuk, ha a determinánst a csupa nulla sor vagy oszlop szerint kezdjük el kifejteni.
TODO