Ugrás a tartalomhoz

Feuerbach-kör

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű.

A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.

A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.

Tétel

[szerkesztés]

A Feuerbach-kör átmegy a következő pontokon:

  • a háromszög oldalfelező pontjai,
  • a háromszög magasságainak talppontjai,
  • a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.[* 1]

Bizonyítás vektorokkal

[szerkesztés]
A Feuerbach-kör és a nevezetes pontok

A három csúcs szerepének egyenrangúsága miatt elég, ha a tételben említett háromfajta pont közül egy-egyre bizonyítjuk. Kell, hogy , , az szakasz felezőpontjától távolságra vannak, ahol a körülírt kör sugarát jelenti.

; ; , azaz .

szakasz felezőpontjának helyvektora .

Kell, hogy , szakasz a körül sugárral írt kör átmérője, hiszen és csak előjelben különbözik. A Thalész-tétel miatt a -ből húzott magasság talppontja is ugyanazon a körön van, hiszen e pontból () az szakasz derékszög alatt látszik.

Bizonyítás négyszögekkel

[szerkesztés]

Az ábra jelöléseivel az FbM1M2Fa négyszög téglalap. Az FbM1 szakasz a pontok definíciója alapján az AMC háromszög középvonala, azaz párhuzamos a CM szakasszal. Ugyanezért FaM2 szakasz is párhuzamos vele, tehát egymással is párhuzamosak.[* 2]

Az AMB háromszög középvonala M1M2, az ACB háromszögé FaFb, és mindkettő az AB oldallal párhuzamos, tehát párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Továbbá CM merőleges mindkettőre, mivel az ACB egyik magasságvonala.

A téglalap húrnégyszög, a köré írható kör Q középpontja az átlók felezőpontja:

Hasonlóan vezethető le, hogy M3M2FcFb négyszög is téglalap. A két téglalap egy átlója közös, tehát a köréjük írható körök egybeesnek. A középháromszög csúcsai és az oldalfelező pontok tehát egy körön vannak.

Az M3Fc a kör átmérője, M3Tc pedig merőleges AB-re, így TcFc-re is. A Thalész-tétel alapján tehát Tc is ezen a körön van, valamint hasonló okokból Ta és Tb is. QED

Nevezetes pontok

[szerkesztés]

A bizonyításhoz készült ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja, ezeket piros színnel jelöltük. A Feuerbach-kör középpontja az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K), az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik. A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: Fa, Fb és Fc a háromszög oldalainak felezéspontjai, Ta, Tb és Tc a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M1, M2 és M3 pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai, azaz a középponti háromszög csúcsai.

Az ábrából kiolvasható, hogy ha a háromszög egyenlő szárú, akkor a Feuerbach-körnek a háromszög alapja az érintője. Ennek következtében a szabályos háromszög esetén a Feuerbach-kör és a beírt kör megegyezik.

Érintő körök

[szerkesztés]
A Feuerbach-kör és az érintő körök

1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és a beírt kört is érinti, ezt szokták Feuerbach-tételnek nevezni. Azt állította:

…a kör, ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain, érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik…

A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni. Ez a pont szabályos háromszögben definiálatlan, hiszen ekkor az előző szakaszban említettek okán e két kör egybeesik.

A Feuerbach-kör tulajdonságai

[szerkesztés]

A Feuerbach-körrel kapcsolatban több érdekes állítás is tehető. Ezek közül néhány ismertebbet sorolunk fel.

Tétel

[szerkesztés]

A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.

Kapcsolat a köréírt körrel

Bizonyítás

[szerkesztés]

A Feuerbach-kör átmegy a középponti háromszög csúcsain. Ez a háromszög az eredeti háromszög 1:2 arányú kicsinyített képe, így a köré írható körök sugara is ugyanígy aránylik egymáshoz. QED

Tétel

[szerkesztés]

A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.

Bizonyítás

[szerkesztés]

A talpponti és a középponti háromszög csúcsai rajta vannak Feuerbach-körön. A két háromszög egybevágó, egymásból egy 180°-os elforgatással származtathatóak. A két háromszög magasságpontja az eredeti háromszög magasságpontja, illetve a köré írható kör középpontja. Ezeket a forgatás egymásba viszi át, a forgatási középpont pedig a Feuerbach-kör középpontja,ebből már adódik az állítás.[1] QED

Tétel

[szerkesztés]
A Feuerbach-kör és a magasságvonalak

A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.

Bizonyítás

[szerkesztés]

Legyen a Feuerbach kör középpontja F, a köré írható köré O, a háromszög magasságpontja pedig M. A köré írható körön vegyünk fel egy P pontot! A PM szakasz felezőpontja legyen Q!

A PMO és a QMF háromszögek hasonlóak, mivel QF előbbinek a középvonala. Továbbá 2·QF=PO ugyanezen okból. Mivel PO a köréírható kör sugara, ennek fele pedig a Feuerbach-köré, ezért ez utóbbi éppen QF-fel egyenlő. Ez azt jelenti, hogy Q a Feuerbach-kör egyik pontja.[* 3] QED

Bizonyítás II.

[szerkesztés]

Mivel az MO szakasz felezőpontja F, ezért az M pont lehet egy λ=2 arányú hasonlóság középpontja is. Ekkor a Feuerbach-kör képe a háromszög köré írható kör lesz. QED

Tétel

[szerkesztés]

Ha a háromszög derékszögű, akkor az átfogóhoz tartozó súlyvonal a Feuerbach-kör egyik átmérője.

Bizonyítás

[szerkesztés]

A Feuerbach-kör középpontja felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt. Derékszögű háromszög esetén előbbi a derékszögű csúcs, utóbbi az átfogó felezőpontja, a kettő közötti szakasz tehát az átfogóhoz tartozó súlyvonal. QED

A Feuerbach-kör az ortocentrikus pontnégyesekkel is szoros kapcsolatban van. Ezt az alábbi két állítás mutatja meg.

Tétel

[szerkesztés]

Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.

Bizonyítás

[szerkesztés]

Tétel

[szerkesztés]

A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.

Bizonyítás

[szerkesztés]

Felfedezése

[szerkesztés]

Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az Fa, Fb, Fc, Ta, Tb és Tc pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M1, M2 és M3 pontok.) Így Terquem volt az, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.


Megjegyzések

[szerkesztés]
  1. Ezt nevezzük középponti háromszögnek is
  2. Ez a párhuzamosság tranzitivitásának a következménye.
  3. Ebben a bizonyításban a QF⊆PM eset nincsen külön kezelve, az egy elfajult háromszöget eredményez ugyanis.

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria. Gondolat, 44. o. (1977). ISBN 963 280 512 7 

Források

[szerkesztés]

Külső hivatkozások

[szerkesztés]