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アラン分散

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
ある時計をリファレンスの時計と比較するとする。リファレンスの時計がτ進む間に、時計が進むとする。ここでyは時計の相対的な周波数の平均値である。図のように、二つの連続した期間の測定をすることで、(yy′)2が得られる。この値が小さいほどこの時計が安定である。これを繰り返し、(yy′)2の平均値を得ると、それが平均化時間τのアラン分散の2倍となる。

アラン分散Allan variance)は、時計発振器アンプにおける周波数安定度を表す指標である。名前はDavid W. Allanに由来し、数学的には と表される。 アラン偏差Allan deviation)は、アラン分散の平方根である である。

アラン分散は統計的な安定度を推定するためのものであり、周波数ドリフトなどの系統的な誤差を推定するものではない。また、アラン分散には、修正アラン分散をはじめとするいくつかの派生形がある。

時計のアラン偏差の例。平均化時間τが小さい時は、τが増えるにつれてノイズがならされ、アラン偏差が減少している。さらにτを増加させると、アラン偏差は増加に転じる。これは時計の周波数がドリフトしていることを示している。

背景

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水晶発振器原子時計の安定性が調べられていた頃、位相ノイズにはホワイトノイズのみならず、フリッカー周波数ノイズも存在しているとわかった。これらのノイズの形は、推定値が収束しないため、標準偏差などの伝統的な統計ツールでは扱いが難しい。安定性を分析する初期の取り組みは、理論的な分析と実用的な測定の両方から行われた。[1][2]

この問題を解決するため、David AllanはM-サンプル分散を導入し、間接的にアラン分散(2-サンプル分散)を導入した。アラン分散では、全ての種類のノイズを見分けることはできないが、有意義な情報が得られる。IEEEはのちに、M-サンプル分散よりもアラン分散(2-サンプル分散)の方が望ましいとみなした。[3]

定義

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振動と位相ノイズ

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振動は以下の式で表される。

位相は以下のように表される。

は基準となる周波数を表し、は位相ノイズを表す。

周波数

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瞬間的な周波数は、位相の時間微分で表される。

規格化された周波数偏差

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瞬間的な周波数の、基準となる周波数からの偏差を規格化して、以下の量を定義する。

規格化された周波数偏差の時間平均

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規格化された周波数偏差の時間平均は以下のように定義される。

ここでτは平均化時間を表す。

アラン分散

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n番目の周波数偏差を以下のように表すとする。

アラン分散は以下のように定義される。

ただし、は期待値を表す。

アラン偏差

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標準偏差分散の関係と同様に、アラン偏差はアラン分散の平方根として定義される。

べき乗ノイズ

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アラン分散は、さまざまなべき乗ノイズを見分けることができる。[4][5][6][7]

べき乗ノイズに対するアラン分散
変調の種類 パワースペクトル密度(位相ノイズ)
パワースペクトル密度(周波数ノイズ)
アラン分散
白色位相変調
フリッカー位相変調
白色周波数変調
フリッカー周波数変調
ランダムウォーク周波数変調

アラン分散は、白色位相ノイズとフリッカー位相ノイズを見分けることができない。一方で、修正アラン分散ではこれらを見分けることができる。

線形応答

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アラン分散は、位相や周波数に乗るノイズを見分けるためのものである。一方で、位相や周波数の線形な変化に対して依存性を示すことがある。

アラン分散の線形応答
Linear effect 時間応答 周波数応答 アラン分散
位相のオフセット
周波数のオフセット
周波数の線形ドリフト

上の表より、アラン分散は、位相や周波数に定数のオフセットがついても変化しないが、周波数が線形に変化すると影響を受ける。[6]

関連項目

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出典

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  1. ^ Cutler, L. S.; Searle, C. L. (February 1966), “Some Aspects of the Theory and Measurements of Frequency Fluctuations in Frequency Standards”, Proceedings of the IEEE 54 (2): 136–154, doi:10.1109/proc.1966.4627, オリジナルの2022-10-09時点におけるアーカイブ。, https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://wwwusers.ts.infn.it/~milotti/Didattica/Segnali/Cutler&Searle_1966.pdf 
  2. ^ Leeson, D. B (February 1966), “A simple Model of Feedback Oscillator Noise Spectrum”, Proceedings of the IEEE 54 (2): 329–330, doi:10.1109/proc.1966.4682, オリジナルの1 February 2014時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20140201231407/http://ccnet.stanford.edu/cgi-bin/course.cgi?cc=ee246&action=handout_download&handout_id=ID113350669026291 20 September 2012閲覧。 
  3. ^ “Definitions of physical quantities for fundamental frequency and time metrology – Random Instabilities”. IEEE STD 1139-1999. (1999). doi:10.1109/IEEESTD.1999.90575. ISBN 978-0-7381-1753-9. 
  4. ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, W. L. Smith, R. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability, NBS Technical Note 394, 1970.
  5. ^ J. A. Barnes, A. R. Chi, L. S. Cutler, D. J. Healey, D. B. Leeson, T. E. McGunigal, J. A. Mullen, Jr., W. L. Smith, R. L. Sydnor, R. F. C. Vessot, G. M. R. Winkler: Characterization of Frequency Stability, IEEE Transactions on Instruments and Measurements 20, pp. 105–120, 1971.
  6. ^ a b Bregni, Stefano: Synchronisation of digital telecommunication networks, Wiley 2002, ISBN 0-471-61550-1.
  7. ^ NIST SP 1065: Handbook of Frequency Stability Analysis .