위상환

대수 구조
군 관련 범주  · 마그마  · 반군  · 모노이드  · 준군  · 아벨 군  · 위상군  · 리 군
환 관련 유사환  · 가환환  · 정역  · 데데킨트 정역  · 유일 인수 분해 정역  · 주 아이디얼 정역  · 유클리드 정역  · 위상환
체 관련 나눗셈환  · 체  · 순서체  · 대수적 수체
가군 관련 아벨 군 · 자유 가군 · 사영 가군 · 평탄 가군 · 벡터 공간
대수 관련 등급환 · 교대 대수 · 결합 대수 · 리 대수 · 요르단 대수 · 호프 대수 · 양자군
격자 관련 반격자 · 모듈러 격자 · 분배 격자 · 완비 격자 · 헤이팅 대수 · 불 대수
v t e

수학에서 위상환(位相環, 영어: topological ring)은 환의 구조가 주어진 위상 공간이다.

위상환 ${\displaystyle R}$은 위상 공간과 환의 구조가 둘 다 주어져, 환의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 ${\displaystyle +\colon R\times R\to R}$
• 덧셈의 역 ${\displaystyle -\colon R\to R}$
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon R\times R\to R}$

따라서, 위상환은 아벨 위상군을 이룬다.

위상체(位相體, 영어: topological field)는 위상 공간과 체의 구조가 둘 다 주어져, 체의 대수적 연산들이 연속 함수인 경우다. 즉, 다음 연산들이 연속 함수여야 한다.

• 덧셈 ${\displaystyle +\colon R\times R\to R}$
• 덧셈의 역 ${\displaystyle -\colon R\to R}$
• 곱셈 ${\displaystyle \cdot \colon R\times R\to R}$
• 곱셈의 역 ${\displaystyle ^{-1}\colon R\setminus \{0\}\to R}$

위상체는 위상환의 특별한 경우다.

모든 비이산 하우스도르프 국소 콤팩트 위상체 ${\displaystyle L}$은 다음 체들 가운데 하나의 유한 확대이다.^[1]

• ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$. 즉, ${\displaystyle L=\mathbb {R} }$이거나 ${\displaystyle L=\mathbb {C} }$이다.
• ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}}$ (p진수체)
• ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}((t))}$ (${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$의 형식적 로랑 급수체)

• 위상 벡터 공간

• “Topological ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological ring”. 《nLab》 (영어). 
• “Topological field”. 《nLab》 (영어).