![](http://178.128.105.246/host-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
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다항 방정식의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는
수체의 판별식 문서를 참고하십시오.
수학에서 판별식(判別式, 영어: discriminant)은 다항식이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.
대수적으로 닫힌 체
계수의 0이 아닌 다항식
![{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bb715ca4c5adb16f2a6d5aa9d177aaf20e9f8d)
![{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in K}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484a190005994dd5ce9c3eda1fa818b63030fe0f)
![{\displaystyle a_{n}\neq 0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf50204372c4d2e24c37aace0035de48b877973)
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in K}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff46285f7f23be60767ba8e45e6891333c323444)
의 판별식은 다음과 같다.[1]:204
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}\operatorname {res} (p,p')\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bb1f13555618c03edfd777b9908ed413a42e82)
여기서
는 형식적 미분이다.
는 종결식이다.
는 행렬식이다.
대수적으로 닫힌 체
및 0이 아닌
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 중복근을 갖는다.
![{\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8261d7b1a20a83a87a4725835b73211cec107a8)
복소수 계수 2차 다항식
![{\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0a5e31a5a1b190ef12c9cef2eaba1ee5f0cca3)
의 판별식은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=b^{2}-4ac}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7723b1efe6d5039f667d4b66df16d01bf52ce9)
만약
,
,
가 모두 실수일 경우 판별식은 실수가 되는데, 만약 양의 실수라면 두 서로 다른 실근을 가지며, 음의 실수라면 두 서로 다른 허근을 가진다. 만약 0이라면 2중 실근을 갖는다.
복소수 계수 3차 다항식
![{\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489ed3988baf009fb5e195e5fe55e893cf893728)
의 판별식은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Disc} (p)=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9226094eb4d5523f6327df3ca07a6830927a7f12)
특히, 다항식
![{\displaystyle x^{3}+\alpha x+\beta }](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2359d029aeed6cc2bf5bb57f54e6b1ecd9cee30b)
의 판별식은
![{\displaystyle -4\alpha ^{3}-27\beta ^{2}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d4982071a48d2b60ba7325c9ba6a053f24bca9)
이다.
복소수 계수 4차 다항식
![{\displaystyle p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69795ece43dcf289c844765ef708c4715b2b7b05)
의 판별식은
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} (p)&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\&\qquad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\&\qquad \qquad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a73b385efea85b3c772739c2b86d6709e1f0735)
이다.