하우스홀더 변환(Householder reflection,Householder transformation)은 소행렬식의 재귀적인 절차의 반복 수렴으로 하우스홀더 리플렉터(Householder reflector)를 구성한다.
QR 분해에서 하우스홀더 리플렉터를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 접근해 바꾸어감으로써
와
을 구할 수 있는데,
이 방법은
행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접
를 구할 수 없을 때 유용하다.
또한 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않는 성질이 있다.
또, 그람-슈미트 방법과 기븐스 회전 방법과 함께 QR 분해에서 고유한 방법을 제공한다.
하우스홀더 변환은 밴드 행렬의 일종인 3중대각행렬처럼 밴드 행렬을 만들기도 한다.
![{\displaystyle \alpha =-sgn(a_{k+1,k}^{k}){\sqrt {\sum _{j=k+1}^{n}(a_{jk}^{k})^{2}}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d6021df1dfccb2a59ee1869001acfd90a728de)
는 부호함수
![{\displaystyle r={\sqrt {{{1} \over {2}}(\alpha ^{2}-a_{k+1,k}^{k}\alpha )}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077f7684e543b2acb31cfd3753b723411f4267db)
![{\displaystyle v_{1}^{k}=v_{2}^{k}=\cdots =v_{k}^{k}=0;}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ec9f0348f0f1ae238227fc34f0ef21ef6fd608)
![{\displaystyle v_{k+1}^{k}={{a_{k+1,k}^{k}-\alpha } \over {2r}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7080756607f1cd4c133cfefb5671ab685bc1e5)
![{\displaystyle v_{j}^{k}={{a_{jk}^{k}} \over {2r}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d568b95fc1dc4065bc9887bb37e0faad2baef7)
![{\displaystyle j=k+2,k+3,\ldots ,n}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea17396bdca8696a4af29a43b41f6fdf96c9ecd)
![{\displaystyle Q^{k}=I-2v^{(k)}(v^{(k)})^{T}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7894f7ebb0df7bbd0876b0795834f5a9a8939c42)
![{\displaystyle A^{(k+1)}=Q^{k}A^{(k)}Q^{k}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4fbb7b53e54c1faae32335b121f9cb6d65da29)
하우스홀더변환에의한
의 3중대각행렬 유도과정[1]
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&1&-2&2\\1&2&0&1\\-2&0&3&-2\\2&1&-2&-1\end{bmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0199c86923f3c4aa74973f3ac8b4747d0645dd8)
우선, 첫번째 하우스홀더 행렬을 구하면,
을 이용해서
이것은 두 단계를 거쳐 프로세스가 완료된다.
이것의 최종 결과는 원래의 것과 유사한 형태인
행렬의 3중대각행렬이다.
- ↑ This example is taken from the book "Numerical Analysis" by Richard L. Burden (Author), J. Douglas Faires