Naar inhoud springen

Dedekindsnede

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Dedekindsnede om het irrationale getal te construeren

Een dedekindsnede, ook snede van Dedekind of kortweg snede genoemd, is een speciale deelverzameling van de rationale getallen die een reëel getal voorstelt. Dedekindsneden worden gebruikt om uit de rationale getallen de reële getallen te construeren. Dedekindsneden zijn genoemd naar Richard Dedekind.

Een dedekindsnede is een deelverzameling van die aan de volgende eisen voldoet:

  • Als en dan is . Met andere woorden: heeft geen ondergrens.
  • Bij is er een zo, dat

De verzameling van alle sneden blijkt equivalent te zijn met

Alternatief kan een dedekindsnede ook gedefinieerd worden als een geordend paar van deelverzamelingen en van de rationale getallen die voldoen aan de axioma's:

  • en
  • voor alle en geldt:
  • heeft geen grootste element, d.w.z. voor alle is er een met

De snede die het reële getal voorstelt is:

Deze snede is gedefinieerd als de verzameling van alle rationale getallen die kleiner zijn dan nul of waarvan het kwadraat niet groter is dan 2. Deze verzameling van rationale getallen is een dedekindsnede omdat ze voldoet aan bovenstaande definitie. Bijzonder aan deze snede is dat ze in de constructie van Dedekind overeenkomt met het reëel getal .

Dedekindsneden worden verder in dit lemma aangeduid met Griekse letters, en rationale getallen met gewone letters.

Eigenschappen van de reële getallen

[bewerken | brontekst bewerken]

Net als de rationale getallen vormen de reële getallen een geordend lichaam (In België spreekt men van een geordend veld).

Kleinstebovengrenseigenschap

[bewerken | brontekst bewerken]

Wat uniek maakt ten opzichte van is dat elke naar boven begrensde deelverzameling van een kleinste bovengrens heeft. De rationale getallen hebben deze eigenschap niet. Neem bijvoorbeeld de verzameling

.

Deze verzameling heeft geen kleinste bovengrens in , aangezien er tussen elk rationaal getal en het getal een ander rationaal getal te vinden is.

De overeenkomstige verzameling in :

heeft wel een kleinste bovengrens in en wel .

Uit het feit dat wel de kleinstebovengrenseigenschap heeft en niet, volgt ook dat volledig is en niet.

Dedekindsneden en de eigenschappen van de reële getallen

[bewerken | brontekst bewerken]

Het blijkt dat sneden aan de eigenschappen van de reële getallen voldoen. Daartoe definieert men het volgende:

Orderelatie voor sneden

[bewerken | brontekst bewerken]

als een echte deelverzameling van .

Duidelijk is dan dat of of of . Uit deze definitie volgt ook de kleinstebovengrenseigenschap van sneden.

Optelling van sneden

[bewerken | brontekst bewerken]

Voor sneden definieert men de optelling, neutraal element voor optelling en inverse element. Deze definities blijken te voldoen aan de axioma's voor optelling.

Als en sneden, verstaat men onder de som de verzameling van alle sommen waarin en De som blijkt weer een snede te zijn.

Neutraal element voor optelling

[bewerken | brontekst bewerken]

Het neutrale element 0 voor optelling is de verzameling van alle negatieve rationale getallen, hetgeen ook een snede is. Duidelijk is dat de snede 0 dezelfde rol speelt als het getal 0 voor

Inverse voor optelling

[bewerken | brontekst bewerken]

Bij de snede definieert men als de verzameling van alle met de eigenschap dat er een is waarvoor geldt dat . De inverse is een snede.

Vermenigvuldiging voor sneden

[bewerken | brontekst bewerken]

Vermenigvuldiging is wat lastiger te definiëren, daarom wordt eerst het product van positieve sneden gedefinieerd, dus voor sneden Later wordt de definitie compleet gemaakt. De definities blijken te voldoen aan de axioma's voor vermenigvuldiging en aan de distributieve wet.

Vermenigvuldiging

[bewerken | brontekst bewerken]

Als en positieve sneden zijn, verstaat men onder het product de verzameling van alle waarvoor geldt dat waarbij en zo worden gekozen dat en Het product is een snede.

Neutraal element voor vermenigvuldiging

[bewerken | brontekst bewerken]

Het neutrale element 1 voor de vermenigvuldiging is de verzameling van alle negatieve rationale getallen kleiner dan 1. De zo gedefinieerde 1 is een snede. Duidelijk is dat de snede 1 dezelfde rol speelt als het getal 1 voor

Complete vermenigvuldiging

[bewerken | brontekst bewerken]

De vermenigvuldiging wordt compleet door de definities

  • als en
  • als en
  • als en

Inbedding van de rationale getallen

[bewerken | brontekst bewerken]

De rationale getallen zijn een deelverzameling van de reële getallen. Er moet dus een deelverzameling sneden bestaan die representeert. Daarom associëreert men met elke de verzameling bestaande uit alle zodanig dat Duidelijk is dat een snede is.

Rechtvaardiging voor dedekindsneden

[bewerken | brontekst bewerken]

Binnen de algebra is er de stelling dat twee geordende lichamen met de kleinste-bovengrens-eigenschap isomorf met elkaar zijn. Duidelijk is dat de dedekindsneden en beiden geordende lichamen zijn met de kleinste-bovengrens-eigenschap. Omdat ze dus isomorf zijn, hebben ze dezelfde algebraïsche eigenschappen. Derhalve zijn dedekindsneden gerechtvaardigd als constructie van de reële getallen.

Een andere methode om uit de reële getallen te construeren gaat met behulp van cauchyrijen. Ook deze methode levert een geordend lichaam op met de kleinste bovengrens eigenschap en is dus equivalent met de methode van dedekindsneden.

De volgende boeken behandelen de constructie van de reële getallen uit de rationale getallen inclusief bewijzen:

  • (en) Rudin, W. - Principles of Mathematical Analysis
  • (en) Landau, E.G.H. - Foundations of Analysis
  • (en) Thurston, H.A. - The Number System
  • (en) Knopp, K. - Theorie and Application of Infinite Series
  • (en) Hewitt, E & Stromberg, K - Real and Abstract Analysis