Naar inhoud springen

Raaklijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
 grafiek gegeven kromme
 raaklijn in P aan de grafiek
 verschillende itererende benaderingen

De raaklijn of tangent aan een kromme in een punt van die kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt die in dat punt dezelfde richting heeft als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt, soms ook tangentpunt. De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

De raaklijn in een punt op de kromme kan als de limietstand worden gezien van de lijn door en een ander punt van de kromme als het punt over het raakpunt nadert. Daaruit blijkt ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Twee dimensies

[bewerken | brontekst bewerken]
Zie Eerlijk delen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een vlakke kromme wordt door de coördinaatfuncties en gegeven, waarbij de parameter een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

In het betrokken punt is de helling:

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie , dan wordt de raaklijn in het punt gegeven door:

Er is in GeoGebra de functie om de raaklijn aan een gegeven kromme in een punt op die kromme te tekenen.

De raaklijn aan de parabool in een punt wordt gegeven door:

De raaklijn aan de cirkel in het punt wordt gegeven door:

De raaklijn in het punt aan de cirkel met de oorsprong als middelpunt is bijvoorbeeld .

De raaklijn aan de cirkel in staat loodrecht op de straal van van naar .

Een ellips is voor gegeven door de coördinaatfuncties

De vergelijking van de raaklijn in een punt aan de ellips is dus:

Daarin is:

Drie dimensies

[bewerken | brontekst bewerken]

Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties en .

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt , kan de raaklijn in dat punt worden bepaald met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

Indien de ruimtekromme wordt gegeven als snijlijn van twee oppervlakken met vergelijkingen

is de richting van de raaklijn evenwijdig aan het kruisproduct van de gradiënten van deze twee uitdrukkingen: