Przejdź do zawartości

Kąty Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Kąty Eulera – układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację dwóch kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. Nazwa pochodzi od nazwiska szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera.

Definicja formalna

[edytuj | edytuj kod]
Kąty Eulera dla prawoskrętnych układów współrzędnych

Definicja kątów Eulera opiera się na spostrzeżeniu, że dowolnie zorientowany układ współrzędnych można otrzymać z danego układu przez złożenie trzech obrotów wokół osi układu. Istnieje kilka takich kombinacji obrotów; wybór konkretnej z nich jest kwestią konwencji.

(1) Załóżmy najpierw, że osie i nie są równoległe, a zatem płaszczyzna jest dobrze określona. Wówczas jedynym obrotem, który przekształca oś na oś jest obrót o odpowiedni kąt wokół linii węzłów tj. prostej prostopadłej do płaszczyzny w punkcie Linia węzłów, jako prostopadła do obu osi i jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i Tak więc układ można nałożyć na dokonując kolejno następujących trzech obrotów:

  1. obrót wokół osi taki by oś pokryła się z linią węzłów
  2. obrót wokół osi taki by oś pokryła się z osią
  3. obrót wokół osi taki by oś pokryła się z osią (wtedy też oś pokryje się z osią ).

Zauważmy, że powyższe warunki wyznaczają dwie różne sekwencje obrotów, gdyż w kroku 1. istnieją dwa obroty (o kąty różniące się o ) prowadzące do ustawienia osi wzdłuż linii węzłów w, lecz nadające jej przeciwne zwroty. Wybieramy zwrot zgodny ze zwrotem iloczynu wektorowego wersorów osi i (przyjmując go za zwrot osi węzłów). Obrót 2. będzie więc zawsze obrotem o kąt z zakresu

Poszczególne kąty Eulera parametryzują powyższe trzy obroty; definiujemy je zatem następująco:

  • – kąt mierzony od osi do osi węzłów w kierunku wyznaczonym osią jest to kąt obrotu 1.
  • – kąt mierzony od osi do w kierunku wyznaczonym osią węzłów jest to kąt obrotu 2.
  • – kąt mierzony od osi węzłów do osi w kierunku wyznaczonym osią jest to kąt obrotu 3.

W ten sposób każdemu obrotowi układu współrzędnych w przestrzeni, nie zachowującemu zwrotu ani kierunku osi można wzajemnie jednoznacznie przypisać uporządkowaną trójkę kątów

(2) Osobnej uwagi wymaga sytuacja, gdy osie i są równoległe (identyczne lub o przeciwnych zwrotach). Płaszczyzna i linia węzłów nie są wówczas jednoznacznie określone; oś można przekształcić na oś w wyniku obrotu (o kąt lub zależnie od zwrotu osi ) wokół dowolnej prostej przechodzącej przez punkt i leżącej w płaszczyźnie Mamy zatem lub a ustawienie osi jest jednoznacznie wyznaczone odpowiednio przez sumę lub różnicę kątów i

Związek z macierzą obrotu

[edytuj | edytuj kod]

Macierze obrotów 1., 2. i 3. mają we współrzędnych postacie:

toteż macierz wypadkowego obrotu prowadzącego od układu do przedstawia się następująco:

Jest to specjalna macierz ortogonalna, tj. macierz ortogonalna o wyznaczniku równym jedności.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Eulera kąty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-06-27].

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]