Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych
Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis] – logarytm o podstawie
(liczba Eulera), gdzie
Oznaczany
[1] lub
[2].
Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do
Logarytm jako pole pod wykresem[edytuj | edytuj kod]
Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x
Logarytm naturalny liczby
można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji
w przedziale od
do
![{\displaystyle \ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621917794145a24fee935dc524dc17100f12bcf1)
Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
![{\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5893bf0a817a2a11fd3b9a7fa0a7e4d47c67d1c3)
Oznaczmy:
| | ![{\displaystyle a^{x}-1={\frac {1}{z}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74a7ebcecdb815469ec121efcd4c01887f4e60a) |
|
(1) |
Wtedy
Logarytmując obustronnie przy podstawie
otrzymujemy:
![{\displaystyle x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940ab4eb562f93e667fb2ed13ce03f58a17fb2e4)
![{\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/896074bc5e0a4070b003808a4d7c91cde1d3bf65)
Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c8b8631a392d4625bd1e65a1d9bc3cd816160e)
Teraz należy wykazać, że przy
mianownik dąży do jednego. Otóż:
![{\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11599280f595feb475154f584402e7679d943b0e)
Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcd256ba528d6fe776dc1754f27e1b140b36698)
Wyrażenie
w mianowniku dąży do
więc mianownik jest równy
co było do okazania.
Pochodna logarytmu naturalnego[edytuj | edytuj kod]
Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0288602b9bc69198947193a50522a87328a70b3b)
Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie
otrzymujemy:
Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na
-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:
dla ![{\displaystyle x,y>0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338d1f32a43c3d4a8b55b35cdf5a615063036ea)
dla ![{\displaystyle 0<x<y}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46406f6a4b7e7a3839068a67ed7d5182d3806d01)
dla ![{\displaystyle h>-1}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d61bb89325225ad86911a2838130a892895d31)
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję
dla ![{\displaystyle x,y>0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338d1f32a43c3d4a8b55b35cdf5a615063036ea)
- Jeśli ciąg
to:
![{\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8a8a9a27d3c8b5525c893d2d96f417e807897e)
![{\displaystyle \ln e^{x}=x,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e24824b4dbcadefbfba07b4153b0c2d35326b)
dla ![{\displaystyle x>0,}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4c8d8607cfd12cb95feef5a2517f4d8aa82ab6)
![{\displaystyle \ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a33efb1972b3b79c607ae461be230a272e30d30)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e794b6d4f294deeb517e4fb12f51b5609077f6a8)
![{\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f645657697c10b89aeec6bc9faada3b5b4ecf721)
![{\displaystyle \ln(x)\leqslant x-1}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7441682747934eda0926d422055d07b7af929a)
dla ![{\displaystyle -1<x\leqslant 1}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13741e1f4d02a95ed3ad255e2b8efd1d53829d33)
dla ![{\displaystyle 0<x\leqslant 2}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674d1f7068d5f9a6f5bfb2a6f5f9ea6a939c598f)