W ogólnej teorii względności linie geodezyjne w metryce Schwarzschilda opisują ruch infinitezymalnie małej masy próbnej w polu grawitacyjnym wytworzonym przez nieruchomą, nierotującą masę centralną. Rozwiązanie równań Einsteina opisujące ten przypadek to rozwiązanie Schwarzschilda uzyskane w 1915 roku przez niemieckiego fizyka Karla Schwarzschilda. Otrzymanie tego rozwiązania oraz zbadanie geodezyjnych w tej metryce odegrało ważną rolę we wczesnym eksperymentalnym potwierdzeniu teorii względności, gdyż z bardzo dobrym przybliżeniem opisują one ruch ciał w polu grawitacyjnym wytwarzanym przez Słońce. Pozwoliło to teoretycznie wytłumaczyć obserwowany ruch peryhelium Merkurego (oraz innych planet) oraz przewidzieć zjawisko ugięcia promieni świetlnych w polu grawitacyjnym Słońca. Były to pierwsze dwa testy potwierdzające prawdziwość ogólnej teorii względności.

Geodezyjne w metryce Schwarzschilda opisują ruch mas próbnych tzn. takich których własna masa nie wpływa na pole grawitacyjne masy centralnej. Gdy masa próbna nie jest infinitezymalna (na przykład planety w Układzie Słonecznym) geodezyjne również poprawnie opisują ruch ciał przy założeniu dużej różnicy między nieruchomą masą wytwarzającą pole, a masą poruszającą się w tym polu. Geodezyjne Schwarzschilda są również dobrym przybliżeniem względnego ruchu dwóch ciał o dowolnej masie przy założeniu, że masa wytwarzająca pole jest równa sumie mas tych dwóch ciał.

Rozwiązanie Schwarzschilda jest historycznie pierwszym ścisłym, nietrywialnym rozwiązaniem równań Einsteina. Zostało opublikowane w roku 1915, niecały miesiąc po opublikowaniu poprawnych równań teorii grawitacji przez Alberta Einsteina. Rok poźniej Johannes Droste opublikował matematycznie bardziej eleganckie wyprowadzenie tej samej metryki i przeprowadził dyskusję jej geometrycznych własności. Według słów Karla Schwarzschilda z roku 1916:

Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen. (Jest zawsze przyjemnie mieć ścisłe rozwiązanie w prostej formie do dyspozycji.)

Nowoodkryte rozwiązanie pozwoliło na wytłumaczenie obserwowanego ruchu peryhelium Merkurego. Jednocześnie umożliwiało odkrycie nowego zjawiska jakim było ugięcie promieni świetlnych w pobliżu masywnych obiektów. Eksperymentalnie efekt ten został zaobserwowany w roku 1919 poprzez przeprowadzenie pomiarów w czasie zaćmienia Słońca pod kierownictwem Arthura Stanleya Eddingtona. Ostatnim klasycznym efektem przewidzianym przez rozwiązanie Schwarzschilda było grawitacyjne poczerwienienie promieni świetlnych w polu grawitacyjnym zaobserwowane w 1959 roku w czasie eksperymentu przeprowadzonego przez Roberta Pounda i Glena Rebke.

 Główna strona: Metryka Schwarzschilda.

Metryka Schwarzschilda jest ścisłym, sferycznie symetrycznym rozwiązaniem równań Einsteina. Opisuje ona pole grawitacyjne na zewnątrz obojętnej, nierotującej masy ${\displaystyle M\,}$. Element długości jest opisywany przez równanie:

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=\left(1-{\frac {2m}{r}}\right){\rm {d}}t^{2}-\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}{\rm {d}}r^{2}-r^{2}({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta {\rm {d}}\varphi ^{2})}$

gdzie

${\displaystyle t\,}$ jest współrzędną czasową (czasem mierzonym przez stacjonarny zegar w nieskończoności),

${\displaystyle r\,}$, ${\displaystyle \theta }$ i ${\displaystyle \varphi }$ są współrzędnymi sferycznymi,

${\displaystyle 2m={\frac {2GM}{c}}=r_{s}\,}$ jest parametrem nazwanym promieniem Schwarzschilda,

${\displaystyle M\,}$ jest masą ciała centralnego,

${\displaystyle G\,}$ i ${\displaystyle c\,}$ to odpowiednio stała grawitacyjna i prędkość światła w próżni.

Klasyczna newtonowska teoria grawitacji pojawia się w granicy znikającego ${\displaystyle r_{s}/r\,}$. W tej granicy metryka przyjmuje postać metryki szczególnej teorii względności, czyli metryki Minkowskiego. Metryka Schwarzschilda w współrzędnych ${\displaystyle t\,}$, ${\displaystyle r\,}$, ${\displaystyle \theta \,}$, ${\displaystyle \phi \,}$ jest osobliwa gdy ${\displaystyle r=0\,}$ oraz gdy ${\displaystyle r=r_{s}\,}$. Osobliwość metryki gdy ${\displaystyle r=r_{s}\,}$ jest związana z zastosowanymi współrzędnymi i znika we współrzędnych Kruskala-Szekeresa, gdzie jedyną osobliwością jest ta w odpowiadająca ${\displaystyle r=0\,}$.

Promień Schwarzschilda ${\displaystyle r_{s}\,}$ jest parametrem o wymiarze długości. Tylko dla najbardziej masywnych obiektów we Wszechświecie ma wartość porównywalną do fizycznych rozmiarów obiektu. Na przykład promień Schwarzschilda Ziemi jest równy ${\displaystyle 8.9}$ mm, co oznacza, że relatywistyczne poprawki do grawitacji newtonowskiej są znikome. Jednak przy nowoczesnych systemach pozycjonowania typu GPS te poprawki muszą zostać już uwzględnione, aby dokładność wyznaczenia pozycji była zadowalająca. Promień Schwarzschilda Słońca wynosi 2954 m, znacznie więcej niż dla Ziemi, ale przy promieniu Słońca równym ${\displaystyle 6.955\times 10^{8}}$ m stanowi to tylko ok. 4 milionowe części. Dla znacznie gęstszego białego karła promień Schwarzschilda stanowi już ok. 250 milionowych części promienia fizycznego. Dla gwiazd neutronowych ten stosunek wynosi już ok. 0.5, a dla czarnych dziur jest już jednością.

 Zobacz też: Linia geodezyjna.

Zgodnie z podstawowym postulatem ogólnej teorii względności ciała podlegające tylko sile grawitacji poruszają się po geodezyjnych czasopodobnych, natomiast światło porusza się po geodezyjnych zerowych. Równania określające krzywe geodezyjne są określone wyłącznie przez metrykę czasoprzestrzeni tzn. do ich zapisania nie potrzeba żadnych dodatokwch równań oprócz postaci tensora metrycznego ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$. W przypadku metryki Schwarzschilda równania określające geodezyjne mają postać:

${\displaystyle 0=c{\frac {{\rm {d}}^{2}t}{{\rm {d}}s^{2}}}+{\frac {2m}{r^{2}}}{\frac {1}{1-2m/r}}c{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}},\,}$

${\displaystyle 0={\frac {{\rm {d}}^{2}r}{{\rm {d}}s^{2}}}+\left({\frac {mc^{2}}{r^{2}}}-{\frac {2m^{2}c^{2}}{r^{3}}}\right)\left({\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}s}}\right)^{2}-{\frac {m}{r^{2}}}{\frac {1}{1-2m/r}}\left({\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}}\right)^{2}+(2m-r)\left({\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}s}}\right)^{2}+(2m-r)\sin ^{2}\theta \left({\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}}\right)^{2},\,}$

${\displaystyle 0={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}s^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}}-\cos \theta \sin \theta \left({\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}}\right)^{2},\,}$

${\displaystyle 0={\frac {{\rm {d}}^{2}\varphi }{{\rm {d}}s^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}}+2\cot \theta {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}},\,}$

gdzie ${\displaystyle s\,}$ jest parametrem afinicznym, czyli parametrem będącym liniową funkcją długości łuku w czasoprzestrzeni (czasu własnego). Równania opisujące krzywe geodezyjne są równaniami parametrycznymi zależnymi od tego parametru. Powyższy układ czterech równań można zredukować do układu trzech równań. Dla geodezyjnych czasopodobnych będących trajektoriami ciał obdarzonych masa (np. planet, komet) parametr afiniczny można określić jako spełniający równanie ${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}x^{\nu }}{{\rm {d}}s}}=1\,}$, co daje układ równań opisujących geodezyjną w postaci:

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}}={\frac {J_{0}}{r^{2}}},\,}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2m}{r}}\right)c\,{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}s}}=E,\,}$

${\displaystyle \left({\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}}\right)^{2}=E^{2}-\left(1+{\frac {J_{0}{}^{2}}{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2m}{r}}\right),\,}$

gdzie ${\displaystyle J_{0}\,}$ oraz ${\displaystyle E\,}$ są dowolnymi stałymi interpretowanymi jako moment pędu oraz energia. W przypadku geodezyjnych zerowych będących trajektoriami promieni świetlnych parametr afiniczny spełnia ${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {{\rm {d}}x^{\mu }}{{\rm {d}}s}}{\frac {{\rm {d}}x^{\nu }}{{\rm {d}}s}}=0\,}$, co oznacza, że analogiczny układ równań będzie miał postać:

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\varphi }{{\rm {d}}s}}={\frac {J_{0}}{r^{2}}},\,}$

${\displaystyle \left(1-{\frac {2m}{r}}\right)c\,{\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}s}}=E,\,}$

${\displaystyle \left({\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}s}}\right)^{2}=E^{2}-{\frac {J_{0}{}^{2}}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right).\,}$

W obu przypadkach pierwsze dwa równania są identyczne. Analiza rozwiązań dla dwóch typów geodezyjnych przebiega odmiennie.

Krzywe geodezyjne czasopodobne to trajektorie ciał obdarzonych masą. Gdy ${\displaystyle J_{0}=0\,}$ wtedy z pierwszego równania określającego geodezyjną czasopodobną wynika ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}=\mathrm {const} \,}$. Jest to przypadek radialnego ruchu do środka symetrii.

Gdy ${\displaystyle J_{0}\neq 0\,}$ wtedy z układu równań na geodezyjną wynika

${\displaystyle \left(J_{0}{\frac {{\rm {d}}\sigma }{{\rm {d}}\varphi }}\right)^{2}=E^{2}-\left(1+J_{0}{}^{2}\sigma ^{2}\right)\left(1-2m\sigma \right),\,}$

gdzie ${\displaystyle \sigma =1/r\,}$. Ścisłe rozwiązanie tego równania prowadzi do całek eliptycznych. Można natomiast otrzymać przybliżone rozwiązanie tego równania uwzględniające poprawki pierwszego rzędu względem małego parametru, które pozwala zaobserwować podstawowe własności rozwiązania ścisłego. Po zróżniczkowaniu powyższego równania po ${\displaystyle \varphi \,}$ otrzymujemy równanie

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}\sigma }{{\rm {d}}\varphi ^{2}}}+\sigma ={\frac {m}{J_{0}{}^{2}}}+3m\sigma ^{2}.\,}$

Oznaczając ${\displaystyle J_{0}=J/mc\,}$ oraz definując dwie wielkości: mały parametr ${\displaystyle \alpha \,}$ oraz ${\displaystyle p\,}$ jako

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {GM\mu ^{2}}{J^{2}}},\quad \alpha ={\frac {3GM}{c^{2}}}=3m,\,}$

gdzie ${\displaystyle \mu \,}$ jest masą ciała poruszającego się, równanie określające geodezyjne przyjmie postać:

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}\sigma }{{\rm {d}}\varphi ^{2}}}+\sigma ={\frac {1}{p}}+\alpha \sigma ^{2}.\,}$

Przybliżone rozwiązanie tego równania jest następujące:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{p}}+{\frac {\alpha }{p^{2}}}\left(1+{\frac {1}{3}}\varepsilon \right)+{\frac {\varepsilon }{p}}\cos \left[\left(1-{\frac {\alpha }{p}}\right)\left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right]+{\frac {\alpha \varepsilon ^{3}}{3p^{2}}}\sin ^{2}\left(\varphi -\varphi _{0}\right).\,}$

Ponieważ w czasie ruchu ${\displaystyle \varepsilon \alpha /p\ll 0\,}$ trzeci wyraz jest większy niż wyraz ostatni, który w związku z tym może zostać pominięty.

Po wykonaniu jednego pełnego obrotu wokół środka symetrii, ${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi +2\pi \,}$, ${\displaystyle \sigma \,}$ nie wraca do wartości wyjściowej. Jest to efekt relatywistycznego przemiszczania się peryhelium i oznacza to, że peryhelium i aphelium poruszają się w czasie ruchu ciała wokół masy centralnej. Dwa kolejne peryhelia oddzielone są kątem

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi }{1-\alpha /p}}-2\pi =2\pi \alpha +O((\alpha /p)^{2}),\,}$

czyli

${\displaystyle \Delta \varphi \approx {\frac {2\pi \alpha }{p}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}p}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}b\left(1+\varepsilon \right)}}={\frac {6\pi GM}{c^{2}a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}},\,}$

gdzie ${\displaystyle a\,}$ jest półosią wielką orbity ciała, ${\displaystyle b\,}$ jest minimalną odległością ciała od masy centralnej.

Ponieważ rozwiązania dla tego przypadku opisują w bardzo dobrym przybliżeniu ruch ciał w Układzie Słonecznym, otrzymujemy przy przejściu do mechaniki klasycznej (${\displaystyle c\to \infty \,}$) newtonowskie równania opsiujące ruch ciał w Układzie Słonecznym:

${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }},\,}$

czyli ogólne krzywe stożkowe, gdzie ${\displaystyle p\,}$ jest parameterm, a ${\displaystyle e\,}$ jest mimośrodem.

 Główna strona: Ruch peryhelium.

Efekt relatywistycznego ruchu peryhelium występuje dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym, ale dla Merkurego jest najbardziej widoczny i został pierwszy odkryty przez Urbaina Le Verriera w roku 1859. Efekt przesunięcia peryhelium jest bardzo mały, ale kumuluje się w czasie. W związku z tym jest mierzony w sekundach łuku na stulecie. W tych jednostkach jego wartość wyraża się wzorem

${\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {100\mathrm {lat} }{T}}\cdot {\frac {360\cdot 60\cdot 60}{2\pi }}\cdot {\frac {6\pi GM}{c^{2}a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}},\,}$

gdzie ${\displaystyle T}$ jest okresem obrotu planety wokół Słońca, środkowy czynnik przelicza radiany na sekundy łuku. Tak obliczone przesunięcie peryhelium Merkurego wynosi ${\displaystyle \Delta \Phi =43.03\,}$ sekund łuku na stulecie, co zgadza się bardzo dobrze z obserwacjami astronomicznymi. Wytłumaczenie ego efektu stało się pierwszym sukcesem teorii względności.

Krzywe geodezyjne zerowe to trajektorie promieni świetlnych. Postępując podobnie jak w przypadku krzywych czasopodobnych otrzymujemy równanie łączące stałą ${\displaystyle J_{0}\,}$ oraz ${\displaystyle E\,}$ w postaci:

${\displaystyle \left(J_{0}{\frac {{\rm {d}}\sigma }{{\rm {d}}\varphi }}\right)^{2}=E^{2}-J_{0}{}^{2}\sigma ^{2}\left(1-2m\sigma \right),\,}$

gdzie identycznie ${\displaystyle \sigma =1/r\,}$. Różniczkując po ${\displaystyle \varphi \,}$ to równanie oraz przyjmując analogiczną definicję ${\displaystyle \alpha \,}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}\sigma }{{\rm {d}}\varphi ^{2}}}+\sigma =\alpha \sigma ^{2}.\,}$

Znajdując podobnie jak poprzednio przybliżone rozwiązanie tego równania uwzględniające człony liniowe względem ${\displaystyle \alpha \,}$ otrzymujemy

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{r}}={\frac {1}{R}}\cos \left(\varphi -\varphi _{0}\right)+{\frac {\alpha }{3R^{2}}}\left[1+\sin ^{2}\left(\varphi -\varphi _{0}\right)\right],\,}$

gdzie ${\displaystyle R\,}$ jest stałą. Rozwiązanie zapisane jako funkcja ${\displaystyle r}$ to

${\displaystyle \varphi _{\pm }=\varphi _{0}\pm \arccos \left[{\frac {3R}{2\alpha }}\left(1-{\sqrt {1+{\frac {8\alpha ^{2}}{9R^{2}}}-{\frac {4\alpha }{3r}}}}\right)\right].\,}$

Taka geodezyjna ma dwie asymptoty gdy ${\displaystyle r\to \infty \,}$. Kąt między tymi asymptotami jest równy

${\displaystyle \Delta \varphi =\lim _{r\to \infty }\left(\varphi _{+}-\varphi _{-}\right)-\pi =2\arccos \left[{\frac {3R}{2\alpha }}\left(1-{\sqrt {1+{\frac {8\alpha ^{2}}{9R^{2}}}}}\right)\right]-\pi .\,}$

Ograniczając się do wyrazów liniowych względem małego parametru ${\displaystyle \alpha \,}$ otrzymujemy

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {4\alpha }{3R}}={\frac {4GM}{c^{2}R}}.\,}$

Jest to wzór opisujący ugięcie promieni świetlnych w pobliżu masywnych obiektów. Według teorii nierelatywistycznej światło porusza się po liniach prostych. Taki ruch obserwujemy w klasycznej granicy teorii względności.

 Zobacz też: Soczewkowanie grawitacyjne i Opóźnienie Shapiro.

Ugięcie promieni świetlnych jest efektem relatywistycznym, w przeciwieństwie do ruchu peryhelium Merkurego, nieobserwowanym wcześniej. Ze względu na naturę tego efektu jego bezpośrednia obserwacja w Układzie Słonecznym jest możliwa gdy ciałem zakrzywiającym jest Słońce tzn. promienie świetlne pochodzące z odległych źródeł przechodzą obok Słońca i ich trajektorie ulegają zakrzywieniu. Największa wartość ugięcia występuje dla promieni poruszających się blisko tarczy Słońca, ale ich obserwacja jest niemożliwa z powodu emisji fotonów ze Słońca. Dlatego aby zaobserwować ugięcie promieni należy je zaobserwować w czasie zaćmienia Słońca. Efektem ugięcia promieni będzie zmiana względnego położenia gwiazd widzianych w tle za Słońcem. W roku 1919 eksperyment kierowany przez Arthura Stanleya Eddingtona mający za zadanie zaobserwować ten efekt został przeprowadzony. Dwie ekspedycje sfotografowały okolicę Słońca w czasie zaćmienia z dwóch róznych miejsc na Ziemi i z porównania tych dwóch pomiarów uzyskano wynik w granicach błędu zgodny z wynikiem przewidzianym przez teorię względności. Był to drugi eksperyment potwierdzający słuszność ogólnej teorii względności.

• Grawitacja
• Johannes Kepler
• Prawa Keplera
• Isaac Newton
• Prawo powszechnego ciążenia
• Problem n ciał

• Plebański J., Krasiński A. (2006) "An Introduction to General Relativity and Cosmology" Cambridge University Press, ISBN 9780-521856232
• Schutz, Bernard F. (1985), "A first course in general relativity", Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5

! Kategoria:Ogólna teoria względności Kategoria:Linia geodezyjna Kategoria:Metryka Schwarzschilda