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Função quadrática

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Na álgebra, uma função quadrática, é uma função polinomial associada a um polinômio do segundo grau, então ela possui a mesma forma.

Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas.

Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma[1]

na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y, como mostrado à direita.

Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.

O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário

com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).

Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.

Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x 2, xy, yz, etc.

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado x .

Nomenclatura Correta

Nunca deve-se chamar uma função quadrática de "função do segundo grau". Pois tal nome da origem a seguinte pergunta: "O que é o grau de uma função?", Nada! pois uma função não possui grau, o que possui grau é um polinômio.

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.

Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

O caso de uma variável

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Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como

onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

Caso bivariado

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Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como

onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

Formas de uma função quadrática univariada

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Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: [2]

  • é chamado de formulário padrão ,
  • é chamada de forma fatorada, onde r1 e r2 são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
  • chama-se a forma de vértice, em que h e k são as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.

O coeficiente a é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes r1 e r2 . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada .

  • Se a > 0, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0 a parábola se abre para baixo.

O coeficiente a controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de a dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).

Os coeficientes b e a juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada x do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em

Além disso, o coeficiente b está associado ao termo de grau 1 na função. Se observarmos, há uma função de 1º grau contida na função quadrática, equivalente a . O coeficiente b corresponde ao coeficiente angular dessa função , a qual é sempre tangente de na altura c de , isto é, no ponto (0,c).

O coeficiente c controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo y .

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é (h, k) . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão

para dentro

então o vértice, (h, k), da parábola na forma padrão é

Se a função quadrática estiver na forma fatorada então

a média das duas raízes, ou seja:

é a coordenada x do vértice e, portanto, o vértice (h, k) é

O vértice também é o ponto máximo se a < 0, ou o ponto mínimo se a > 0 .

A linha vertical:

que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximos e mínimos

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Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :

x é uma raíz de f '(x) if f '(x) = 0 resultando em:

com o valor da função correspondente temos:

então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, (h, k), podem ser expressas como

Raízes da função univariada

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Predefinição:Quadratic equation graph key points.svgPredefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

Raízes exatas

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As raízes (ou zeros ), r1 e r2, da função quadrática univariada

são os valores de x para os quais f(x) = 0 .

Quando os coeficientes a, b e c são reais ou complexos, as raízes são

Limite superior na magnitude das raízes

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O módulo das raízes de um quadrático não pode ser maior que Onde é a proporção áurea [3] [ importância? ]

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada

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A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .

E se então a equação descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.

E se então a equação descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

Para iterar uma função , aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.

Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de , O que significa que a enésima iteração . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .

Por exemplo, para a equação iterativa

uma tem:

Onde

e

Então, por indução,

pode ser obtido, onde pode ser facilmente calculado como:

Finalmente, temos:

como a solução.

Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.

O mapa logístico

com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é

onde o parâmetro de condição inicial É dado por . Para racional , após um número finito de iterações mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos são irracionais e, para irracionais , nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.

A solução do mapa logístico quando r = 2 é

para . Desde a para qualquer valor de diferente do ponto fixo instável 0, o termo vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então vai para o ponto fixo estável

Função quadrática bivariada (duas variáveis)

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Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano , que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

Mínimo/máximo

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E se a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

E se a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em Onde:

E se e a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

E se e a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Referências

  1. «Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld». Consultado em 6 de janeiro de 2013 
  2. Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, ISBN 9780471271758, John Wiley & Sons Inc., p. 205 , Search result
  3. Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

Ligações externas

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  • Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.