Número de enlaces
Em matemática, o número de enlaces é um invariante numérico que descreve o enlace de duas curvas fechadas no espaço tridimensional. Intuitivamente, o número de enlaces representa o número de vezes que cada curva se envolve em torno da outra. O número de enlaces é sempre um inteiro, e pode ser positivo ou negativo dependendo da orientação das duas curvas.
O número de enlaces foi introduzido por Gauss na forma de um enlace integral. Ele é um objeto de estudo importante na na teoria dos nós, topologia algébrica e na geometria diferencial, tendo numerosas aplicações em matemática e ciência, incluindo a mecânica quântica, eletromagnetismo e o estudo de superenrolamento de ADN.
Definição
[editar | editar código-fonte]Quaisquer duas curvas fechadas em um espaço podem ser movidas para uma das seguintes posições padrão. Isso determina o número de enlaces:
Número de enlaces -2 | número de enlaces -1 | número de enlaces 0 | |||
número de enlaces 1 | número de enlaces 2 | número de enlaces 3 |
Cada curva pode passar sobre si mesma durante essa movimentação, mas elas devem permanecer separadas do começo ao fim. Isso é formalizado coma a homotopia regular, que exige ainda que cada curva seja uma imersão (não apenas uma aplicação). No entanto, essa condição extra não altera a definição do número de enlaces (não faz diferença se é exigido ou não que as curvas sempre sejam imersões), o que exemplifica um princípio de homotopia, significando que a geometria se reduz à topologia.
Cálculo do número de enlaces
[editar | editar código-fonte]Existe um algoritmo para calcular o número de enlaces de duas curvas a partir de um diagrama de enlaces. Nomeie cada cruzamento como positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra[1]:
O número total de cruzamentos positivos menos o número total de cruzamentos negativos é igual ao dobro do número de enlaces. Em outros termos:
em que n1, n2, n3, n4 representam o número de cruzamentos de cada um dos uatro tipos. As duas somas e são sempre iguais, [2] donde segue a seguinte fórmula alternativa
Note que envolve apenas os cruzamentos da curva azul por baixo da vermelha, enquanto que envolve apenas os cruzamentos por cima.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Notas
[editar | editar código-fonte]- ↑ Essa rotulação é a mesma usada para calcular o writhe de um nó, embora neste caso só devem ser nomeados os cruzamentos que envolvam ambas as curvas do enlace.
- ↑ Isso segue do teorema da curva de Jordan se qualquer das curvas for simples. Por exemplo, se a curva azul for simples, então n1 + n3 e n2 + n4 representam o número de vezes que a curva vermelha atravessa para dentro e para fora da região limitada pela curva azul.
Referências
[editar | editar código-fonte]- A.V. Chernavskii (2001), "Linking coefficient", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- - (2001), "Writhing number", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104