Politop pentagonal
În geometrie un politop pentagonal este un politop regulat în n dimensiuni, construit din grupul Coxeter Hn. Familia acestor politopuri a fost denumită așa de Coxeter, deoarece politopul pentagonal bidimensional este un pentagon. Simbolul său Schläfli este {5, 3n−2} (dodecaedric) sau {3n−2, 5} (icosaedric).
Membrii familiei
[modificare | modificare sursă]Familia începe cu 1-politop și se termină cu n = 5 ca teselări infinite ale spațiului hiperbolic cvadridimensional.
Există două tipuri de politopuri pentagonale, denumite dodecaedrice și icosaedrice, prin analogie cu politopurile tridimensionale. Cele două tipuri sunt duale unul față de celălalt.
Dodecaedrice
[modificare | modificare sursă]Familia completă de politopuri pentagonale dodecaedrice este:
- Segment, { }
- Pentagon, {5}
- Dodecaedru, {5, 3} (12 fețe pentagonale)
- 120-celule, {5, 3, 3} (120 de celule dodecaedrice)
- Fagure 120-celule de ordinul 3, {5, 3, 3, 3} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 120-celule)
Fațetele fiecărui politop pentagonal dodecaedric sunt politopurile pentagonale dodecaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt simplexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică.
n | Grup Coxeter | Poligon Petrie (proiecție) |
Nume Diagramă Coxeter Simbol Schläfli |
Fațete | Elemente | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vârfuri | Laturi | Fețe | Celule | 4-fețe | |||||
1 | [ ] (ordin 2) |
![]() |
Segment![]() { } |
2 vârfuri | 2 | ||||
2 | [5] (ordin 10) |
![]() |
Pentagon![]() ![]() ![]() {5} |
5 laturi | 5 | 5 | |||
3 | [5,3] (ordin 120) |
![]() |
Dodecaedru![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {5, 3} |
12 pentagoane![]() |
20 | 30 | 12 | ||
4 | [5,3,3] (ordin 14400) |
![]() |
120-celule![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {5, 3, 3} |
120 de dodecaedre![]() |
600 | 1200 | 720 | 120 | |
5 | [5,3,3,3] (ordin ∞) |
Fagure 120-celule![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {5, 3, 3, 3} |
∞ 120-celule![]() |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Icosaedrice
[modificare | modificare sursă]Familia completă de politopuri pentagonale icosaedrice este:
- Segment, { }
- Pentagon, {5}
- Icosaedru, {3, 5} (20 fețe triunghiulare echilaterale]] faces)
- 600-celule, {3, 3, 5} (600 de celule tetraedrice)
- Fagure 5-celule de ordinul 5, {3, 3, 3, 5} (teselare a 4-spațiului hiperbolic, ∞ fațete de 5-celule)
Fațetele fiecărui politop pentagonal icosaedric sunt simpexurile cu dimensiunea cu 1 mai mică. Figurile lor de vârf sunt politopurile pentagonale icosaedrice cu dimensiunea cu 1 mai mică.
n | Grup Coxeter | Poligon Petrie (proiecție) |
Nume Diagramă Coxeter Simbol Schläfli |
Fațete | Elemente | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vârfuri | Laturi | Fețe | Celule | 4-fețe | |||||
1 | [ ] (ordin 2) |
![]() |
Segment]]![]() { } |
2 vârfuri | 2 | ||||
2 | [5] (ordin 10) |
![]() |
Pentagon![]() ![]() ![]() {5} |
5 laturi | 5 | 5 | |||
3 | [5,3] (ordin 120) |
![]() |
Icosaedru![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3, 5} |
20 de triunghiuri echilaterale ![]() |
12 | 30 | 20 | ||
4 | [5,3,3] (ordin 14400) |
![]() |
600-celule![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3, 3, 5} |
600 de tetraedre![]() |
120 | 720 | 1200 | 600 | |
5 | [5,3,3,3] (ordin ∞) |
Fagure 5-celule de ordinul 5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3, 3, 3, 5} |
∞ 5-celule![]() |
∞ | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
Politopuri stelate și faguri înrudiți
[modificare | modificare sursă]Politopurile pentagonale pot fi stelate pentru a forma noi politopuri stelate regulate:
- În două dimensiuni, se obține pentagrama {5/2},
- În trei dimensiuni, se formează cele patru poliedre Kepler–Poinsot, {3,5/2}, {5/2,3 }, {5,5/2} și {5/2,5}.
- În patru dimensiuni, se formează cele zece 4-politopuri Schläfli–Hess: {3,5,5/2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5,3,5/2}, {5/2,3,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, {3,5/2,5}, {3,3,5/2} și {5/2,3,3}.
- În spațiul hiperbolic cvadridimensional există patru faguri stelați regulați: {5/2,5,3,3 }, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} și {5,5/2,5,3}.
În unele cazuri, politopurile pentagonale stelate sunt ele însele enumerate printre politopurile pentagonale.[1]
Ca și alte politopuri, stelările regulate pot fi combinate cu duale lor pentru a forma compuși;
- În două dimensiuni se obține o figură stelată decagramică {10/2},
- În trei dimensiuni se obține compusul de dodecaedru și icosaedru,
- În patru dimensiuni se obține compusul de 120-celule și 600-celule.
Politopurile stelate pot fi și ele combinate.
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ Coxeter, H. S. M.: Regular Polytopes (third edition), p. 107, p. 266
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
- en (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- en Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN: 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)
Politopuri regulate și uniforme convexe fundamentale în dimensiunile 2–10 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Familie | An | Bn | I2(p) / Dn | E6 / E7 / E8 / F4 / G2 | Hn | |||||||
Poligoane regulate | Triunghi | Pătrat | p-gon | Hexagon | Pentagon | |||||||
Poliedre uniforme | Tetraedru | Octaedru • Cub | Semicub | Dodecaedru • Icosaedru | ||||||||
4-politopuri uniforme | 5-celule | 16-celule • Tesseract | Semitesseract | 24-celule | 120-celule • 600-celule | |||||||
5-politopuri uniforme | 5-simplex | 5-ortoplex • 5-cub | 5-semicub | |||||||||
6-politopuri uniforme | 6-simplex | 6-ortoplex • 6-cub | 6-semicub | 122 • 221 | ||||||||
7-politopuri uniforme | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cub | 7-semicub | 132 • 231 • 321 | ||||||||
8-politopuri uniforme | 8-simplex | 8-ortoplex • 8-cub | 8-semicub | 142 • 241 • 421 | ||||||||
9-politopuri uniforme | 9-simplex | 9-ortoplex • 9-cub | 9-semicub | |||||||||
10-politopuri uniforme | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cub | 10-semicub | |||||||||
n-politopuri uniforme | n-simplex | n-ortoplex �� n-cub | n-semicub | 1k2 • 2k1 • k21 | n-politop pentagonal | |||||||
Topicuri: Familii de politopuri • Politop regulat |