Hoppa till innehållet

Weierstrassfunktionen

Från Wikipedia
Weierstrassfunktionen i intervallet [-2,2]. Det inzoomade området visar att funktionen är en fraktal.

Weierstrassfunktionen skapades av den tyske matematikern Karl Weierstrass 1872 under sin tid som professor i Berlin.[1] Den är ett exempel på att en överallt kontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar någonstans och har formen

där 0 < a < 1 och ab > 1 + 3π/2 och b är ett udda heltal större än 1.[2]

Historiskt sett ligger Weierstrassfunktionens betydelse i att den var den första publicerade funktion som motsade att alla kontinuerliga funktioner är deriverbara överallt utom i ett visst antal diskreta punkter. Det hade emellertid skapats funktioner med dessa egenskaper tidigare, som dock aldrig publicerades och därför inte fick samma spridning som Weierstrassfunktionen.[2] Weierstrassfunktionen anses också vara en av de första fraktalerna som skapats.

Bevis av kontinuitet

[redigera | redigera wikitext]

Eftersom

och

kommer funktionen att vara kontinuerlig på hela ℝ enligt Weierstrass majorantsats.[2]

Bevis av icke-deriverbarhet

[redigera | redigera wikitext]

Beviset, utförd enligt[2], bygger på att man ska bevisa att höger- och vänsterderivaten är olika, dvs att

Börja med att låta x0 ∈ ℝ och m ∈ ℕ vara två godtyckliga tal.

Välj så att

och sätt

och .

För att visa att ym < 0 < zm görs följande beräkningar:

vilket ger olikheten

varför ym < 0 < zm.

Samtidigt fås att

dvs ym → 0 från vänster då m → ∞ och

dvs zm → 0 från höger då m → ∞ efter b > 1.

Uppskattning av vänsterderivatan

[redigera | redigera wikitext]

Den vänsterderivatan begrundas först och delas upp i S1 och S2 enligt

Där alltså S1 är summan av kvoterna från n = 0 till n = m - 1 och S2 är summan av kvoterna från n = m till oändligheten. S1 och S2 behandlas sedan var för sig för kunna uppskatta S1 uppåt och S2 nedåt.

Uppskattning av S1

[redigera | redigera wikitext]

S1 skrivs om med hjälp av den trigonometriska formeln

samt det faktum att .

Uppskattning av S2

[redigera | redigera wikitext]

S2 kan, då b är ett udda heltal och am ∈ ℤ skrivas om enligt

och

vilket ger

.

Vi får alltså att

.

I och med att och

är alla termer positiva vilket ger att

.

Uppskattningarna av S1 och S2 ger att det existerar ett ε1 ∈ [-1,1] och η1 > 1 så att

.

Uppskattning av högerderivatan

[redigera | redigera wikitext]

Högerderivatan uppskattas på samma sätt som den vänstra enligt

Uppskattning av S’1

[redigera | redigera wikitext]

S’1 skrivs om på samma sätt som S1.

Uppskattning av S’2

[redigera | redigera wikitext]

S’2 kan uppskattas på samma sätt som S2 enligt nedan.

Från beräkningen av S2 fås även att

vilket ger att

.

I och med att och

är alla termer positiva vilket ger att

.

Uppskattningarna av S’1 och S’2 ger att det existerar ett ε1 ∈ [-1,1] och η1 > 1 så att

Vänster- och högerderivatan kan skrivas enligt:

Detta tillsammans med att

ger direkt att funktionen saknar derivata eftersom vänster- och högerderivatan har olika tecken.

  1. ^ Jan Thompson & Thomas Martinsson (1991). Matematiklexikon. ISBN 91-46-16515-0 
  2. ^ [a b c d] Thim, Johan (1 december 2003). ”Continuous NowhereDifferentiable Functions” (PDF). Luleå tekniska högskola. http://ltu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1022983/FULLTEXT01.pdf.  2003:320 CIV