Türev alma kuralları

Kalkülüs
Temel Kalkülüsün temel teoremi Limit Süreklilik Ortalama değer teoremi
Türev Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı Diferansiyel denklemler
İntegral İntegral tablosu Has olmayan integral İntegralle hacim hesabı İntegral Alma Yöntemleri: Kısmi İntegrasyon değişken değiştirme
Çok değişkenli Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali
Vektör hesabı Matris Tensör Jacobi Hesse Gradyan
g t d

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır. Burada, f ve g türevlenebilir fonksiyonlar ve c ise reel sayıdır.

Genel kurallar

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

[f(x)*g(x)]’=[f'(x)*g(x)]+[f(x)*g'(x)] şeklinde olmalıdır.^[1]

d/dx, fonksiyonun x'e göre türevinin alındığını gösterir.

${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}}$

${\displaystyle {d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)}$

Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:^[2]

${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x}$ ${\displaystyle =1+tan^{2}(x)}$

${\displaystyle {d \over dx}\sec x=\tan x\sec x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x}$

${\displaystyle {d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tanh x={\mbox{sech}}^{2}x}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{sech}}x=-\tanh x{\mbox{sech}}x}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{coth}}x=-{\mbox{csch}}^{2}x}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{csch}}x=-{\mbox{coth}}x{\mbox{csch}}x}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arcsinh}}x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arccosh}}x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arctanh}}x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arcsech}}x={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arccoth}}x={-1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}{\mbox{arccsch}}x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Zincir kuralı, iki ve ikiden fazla türevlenebilir fonksiyonların bileşkesinin türevini almak için kullanılır. ${\displaystyle n}$ tane fonksiyonunun bileşkesinin türevini almak için: ${\displaystyle (f_{1}(f_{2}(f_{3}(...(f_{n}(x)...))))'=f_{1}'(f_{2}(f_{3}(...(f_{n}(x)...))))\cdot f_{2}'(f_{3}(f_{4}(...(f_{n}(x)...))))\cdot f_{3}'(f_{4}(f_{5}(...(f_{n}(x)...))))\cdot ...\cdot f_{n}'(x)}$şeklindedir. Yani en dıştan içe doğru fonksiyonların türevi alınarak içindeki fonksiyonların bileşkesi alınır ve çarpılır. Örneğin ${\displaystyle f(x)=2sin(3cos(x))}$ fonksiyonunun türevini alalım. ${\displaystyle f(x)=2sin(3cos(x))}$ ${\displaystyle f'(x)=2sin'(3cos(x))\cdot (3cos(x))'}$ ${\displaystyle f'(x)=2cos(3cos(x))\cdot -3sin(x)}$

Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarakta fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ fonksiyonunun logaritma ile türevini alalım: ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$

${\displaystyle ln(h(x))=ln(f(x)g(x))}$

${\displaystyle ln(h(x))=ln(f(x))+ln(g(x))}$

${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$

${\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

gördüğünüz gibi türevin çarpma kuralını elde etmiş olduk.