Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.
У цій статті всюди де не вказано інше усі об'єкти розглядаються над алгебрично замкнутим полем K характеристика якого є рівною 0.
Матриця
розмірності
називається узагальненою матрицею Картана, якщо
- Коефіцієнти матриці
для всіх ![{\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897bfad1971b523f8c3eff622ac4ed7e2e0ae5b0)
для всіх ![{\displaystyle i=1,\ldots ,n}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5726d00b79af1b4666a6319c45381579dc85a9a)
для всіх ![{\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e960db4bd3cb8c59247a2bd5e5ec110a828a40ec)
тоді і тільки тоді, коли
для всіх
.
Матриця Картана системи коренів напівпростої алгебри Лі задовольняє всі ці властивості і вона є частковим прикладом узагальненої матриці Картана.
Дві узагальнені
-матриці Картана
і
називаються еквівалентними, якщо існує перестановка
елементів
при якій
Узагальнена матриця Картана називається розкладною, якщо вона є еквівалентною матриці виду
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bb664529c3837e80c5feab15bb2317329165d6)
для деяких матриць
і
(які теж будуть узагальненими матрицями Картана). В іншому випадку матриця називається нерозкладною.
Для узагальненої матриці
розмірності
введемо
- Скінченновимірний
-векторний простір ![{\displaystyle H}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
- Лінійно незалежні вектори
,
- Лінійно незалежні елементи спряженого простору
, для яких
для всіх ![{\displaystyle i,j=1,\ldots ,n.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9851acaef743043186f537b1b93e08fa37a5d54)
Тоді
називається реалізацією матриці
. Найменша можлива розмірність простору
є рівною
де
позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації
і
мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення
що переводить
у
і спряжене відображення переводить
у
Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.[1]
Нехай
— узагальнена матриця Картана розмірності
і
— її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною
.
На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень
для всіх
mit ![{\displaystyle x=\lambda x+\mu z}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23fd825b8bf992ebb4711bae344f804e68379fc)
для всіх ![{\displaystyle x,y\in H}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947e70f01d5562fb467fb8f05837045fa126108a)
для всіх ![{\displaystyle i=1,\ldots ,n}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5726d00b79af1b4666a6319c45381579dc85a9a)
для всіх ![{\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e960db4bd3cb8c59247a2bd5e5ec110a828a40ec)
для всіх ![{\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cb2c83b4a213ffae871771a2a2282d4c0f66c1)
для всіх ![{\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cb2c83b4a213ffae871771a2a2282d4c0f66c1)
Нехай ця множина позначається
і
— алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини
і множиною співвідношень
При цьому відображення
задає ізоморфізм алгебр Лі.
Для узагальненої матриці Картана
із побудованими вище алгебрами
і
нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого
Тоді алгебра Лі
![{\displaystyle L(A):={\tilde {L}}(A)/I}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9316d066a45163b61e66771685050fdeae166b0)
називається алгеброю Каца — Муді для матриці
.
Клас ізоморфізмів алгебри Лі
залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо
є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці
є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.[2]
Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.
У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць
означення можна дати за допомогою множини
породжуючих елементів і співвідношень
![{\displaystyle [h_{i},h_{j}]}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41430bdd63d4822ec1527d584e809727464faf2)
![{\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fb903b4974811e526bd07cc41a715f9be9aba7)
![{\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763638c3598b0707469127d6c197d6b490d473c5)
![{\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff99a91257516f34878284f6c3d4da153e9a0fcf)
для ![{\displaystyle i\not =j}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e183b251354fde28bb4a4b055e31499ce83f85)
для
і
входжень елементів ![{\displaystyle e_{i}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdc3a9cb1583d3204eff8918b558c293e0d2cf3)
для
і
входжень елементів ![{\displaystyle f_{i}}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65da883ca3d16b461e46c94777b0d9c4aa010e79)
У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.
Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:
- Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
- Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
- Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.
Можна надати еквівалентні характеристики:
є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує
для якого
і ![{\displaystyle Au>0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca88ccfb862b40b9e1fe095fd263fd491b6dcaca)
є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує
для якого
і ![{\displaystyle Au=0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2151d048b7e69b8830cc8014ce71b600a35d9e)
є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує
для якого
і ![{\displaystyle Au<0}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d769827ffb8eacfcaa523fe4032bb9cb112dafe)
Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої
-матриці Картана
можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:
- Вершини графу позначаються
і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
- Якщо
, то вершини
і
не сполучаються ребрами.
- Якщо
, то вершини
і
сполучаються одним ребром.
- Якщо
, то вершини
і
сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини
, якщо
і
.
- Якщо
, то вершини
і
сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини
, якщо
і
.
- Якщо
і
, то вершини
і
сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини
, якщо
і
.
- Якщо
і
, то вершини
і
сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
- Якщо
, то вершини
і
сполучаються ребром із записом чисел
і
на ньому.
Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.
Корені і кореневий розклад алгебр Каца — Муді
[ред. | ред. код]
є аналогом підалгебри Картана для
.
Якщо
є елементом
для якого
![{\displaystyle \forall h\in {\tilde {H}},[h,x]=\lambda (h)x}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b9b637171b6092e21b84c8e3109ed2bfd2e5db)
для деякого
, то
називається кореневим вектором і
коренем алгебри
. (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів
позначається
або
. Для даного кореня
one denotes by
позначає кореневий простір кореня
, тобто
.
Із системи співвідношень для
випливає, що
і
. Також якщо
і
, то
.
Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму
і кореневих просторів, тобто:
,
і кожен корінь
можна записати як суму
де всі
є цілими числами із однаковим знаком.
Для фундаментальних коренів
розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій
є
і
Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі
є коренями.
Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на
що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на
є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь
буде дійсним тоді і тільки тоді коли
в іншому випадку він буде уявним.
- Для алгебр скінченного типу (тобто напівпростих алгебр Лі) усі корені є дійсними.
- Для алгебр афінного типу існує
для якого
і
Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор
елементами якого є цілі взаємно прості числа. Якщо позначити
то усі уявні корені
мають вигляд ![{\displaystyle k\delta ,k\in \mathbb {Z} \setminus 0.}](http://178.128.105.246/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8f80854d6ef7379a3ad6834e3954f252a746eb)
- ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 14.1: Realisations of a square matrix
- ↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 14.3: The Kac-Moody algebra L(A)