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空集公理

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集合论中,空集公理Zermelo-Fraenkel 集合论公理之一。

正式表述

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直觀上這個公理說:

有着一个集合使得「没有集合」是它的元素

定理 — 

證明
假設

那根據量詞公理(A4)

另一方面根據常用的推理性質的(M0)有

這樣就會有

這樣根據(AND)

因為前面的 在一開始假設裡完全被約束,所以對上式以 使用(GEN)

綜上所述

這樣根據普遍化就有

再以(AND)綜合空集公理,本定理就得証了。

也就是直觀上,「空集是唯一存在的」,這樣根據函數符號與唯一性,可以在 Zermelo-Fraenkel 集合论加入新的常數符號 和以下的新公理

 — 

一般所稱的空集公理指的是,而不是據以定義常數符號 的原始公理

解释

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我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的,我们可以簡單名之為空集,并將其標記为 {} 或 。因此这个公理的本质是:

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陳述版本中,空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说,有不预設空集存在的另一种公理版本。还有,以一常量符号表示空集的話,藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本;那么无穷公理也會用到这个符号而不要求它是空的,尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且,在那些不包含无穷集合的集合论中,空集公理仍是需要的。就是说,使用分离公理模式,声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

引用

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  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.