Mangoldt-Funktion

mathematische Funktion

In der Mathematik ist die Mangoldt-Funktion (auch Von Mangoldt-Funktion), benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt, eine zahlentheoretische Funktion, die üblicherweise mit bezeichnet wird.

Die Mangoldt-Funktion besitzt die Eigenschaft, dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen übrig bleiben. Der Wert der Mangoldt-Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl.

Definitionen und grundlegende Eigenschaften

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Die Mangoldtsche Funktion ist definiert als

 

Erläuterungen

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Für zusammengesetzte Zahlen   also

 

wobei   ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet.

Das heißt, die Mangoldt-Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus, in dem die zusammengesetzten Zahlen mit   identifiziert werden. In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert.

Die ersten Werte von   sind

 

Die Mangoldt-Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion.

exp(Λ(n))

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  lässt sich explizit angeben als

 

wobei   das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet.

Die ersten Werte der Folge   sind

  (Folge A014963 in OEIS)

Summierte Mangoldt-Funktion

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Die summierte Mangoldt-Funktion,

 

wird auch als Tschebyschow-Funktion bezeichnet. Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle.

Teilersummen

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Bezeichne mit   die Möbius-Funktion. Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten für  . Es gilt

 

Weiter gilt

 
 
 
 

Durch Anwendung der Mobius-Inversionsformel kann   gezeigt werden,   folgt daraus.

Hierbei bedeutet  , dass   ein positiver Teiler von   ist, d. h. die Summen laufen über alle positiven Teiler von  .

Folgerungen

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Sei   eine Primzahl, Beziehung   kann man zum Beispiel nützen, wenn man Primzahlzwillinge   untersucht

 

Dirichlet-Reihen

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Die Mangoldt-Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen.

Es gilt

 

Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen  -Funktion und der Mangoldt-Funktion:

 

Allgemeiner gilt sogar: Ist   multiplikativ und ihre Dirichletreihe  

 

konvergiert für gewisse  , dann gilt

 

Verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

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Die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion ist definiert als

 

wobei   die Möbius-Funktion bezeichnet und  .

Als Dirichlet-Faltung geschrieben

 

Im Fall   erhält man die gewöhnliche Mangoldt-Funktion  .[1]

Eigenschaften

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  • Für   gilt folgende Rekursion[2]
 
  • Es folgt aus der Rekursion, dass wenn   dann ist  .

Abschätzen der Mangoldt-Funktion

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Das Abschätzen der Mangoldt-Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie. Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode, der Null-Dichte-Methoden (englisch zero density methods) und Vaughans Identität.

Referenzen

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Einzelnachweise

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  1. John Friedlander und Henryk Iwaniec: Opera de Cribro. In: American Mathematical Society (Hrsg.): American Mathematical Society Colloquium Publications. Band 57, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5, S. 23 (englisch).
  2. J. B. Friedlander, D.R. Heath-Brown, H. Iwaniec, J. Kaczorowski: Analytic Number Theory: Lectures Given at the C.I.M.E. Summer School Held in Cetraro, Italy, July 11-18, 2002. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2006, S. 16.