超質數
外观
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超質數也稱為高階質數,是指在質數序列中,第2個、第3個、第5個……等序數為質數的數。換句話說,若將正整數和質數從小到大兩兩對應排列,讓正整數的1對應質數的2,則正整數那列為質數的數字,質數那列對應的就是超質數。
超質數有
- 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... (OEIS數列A006450).
若p(i) 表示第i個質數,則超質數即為p(p(i))。
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p(n) | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
p(p(n)) | 3 | 5 | 11 | 17 | 31 | 41 | 59 | 67 | 83 | 109 | 127 | 157 | 179 | 191 | 211 | 241 | 277 | 283 | 331 | 353 |
Dressler & Parker (1975)利用電腦輔助的證明(和子集和問題的計算有關)證明了所有大於96的數都可以表示為幾個相異超質數的和。此證明的基礎和伯特蘭-切比雪夫定理有關,說明(大於11的每一個超質數,都比前一個的二倍要小。
Broughan及Barnett[1]證明了小於x的超質數數量如下
這可以說明超質數的集合是小集(集合倒數的和會收斂)。
也可以用類似的方式定義更高階的質數,產生類似的數列Fernandez (1999)。
超質數的一個變體是序數為回文素数的質數,數列如下
參考資料
[编辑]- ^ Kevin A. Broughan and A. Ross Barnett, On the Subsequence of Primes Having Prime Subscripts (页面存档备份,存于互联网档案馆), Journal of Integer Sequences 12 (2009), article 09.2.3.
- Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic; Oliveira e Silva, Tomás, New bounds and computations on prime-indexed primes, Integers, 2013, 13: A43:1–A43:21 [2024-03-11], MR 3097157, (原始内容存档于2023-06-07)
- Broughan, Kevin A.; Barnett, A. Ross, On the subsequence of primes having prime subscripts, Journal of Integer Sequences, 2009, 12, article 09.2.3 [2015-08-25], (原始内容存档于2015-09-11)
- Dressler, Robert E.; Parker, S. Thomas, Primes with a prime subscript, Journal of the ACM, 1975, 22 (3): 380–381, MR 0376599, doi:10.1145/321892.321900.
- Fernandez, Neil, An order of primeness, F(p), 1999 [2015-08-25], (原始内容存档于2012-07-10).