Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Grafy funkcí arkus sinus a arkus kosinus
Arkus kosinus je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci kosinus. Obvykle se značí
, v anglické literatuře se taktéž používá
či
. Její hodnotou je úhel v obloukové míře (radiány) z intervalu
, jehož kosinus je
.
Funkce
je inverzní k funkci
; je definována pro
.[1]
Značení:
|
[2]
|
Definiční obor
|
|
Obor hodnot
|
|
Omezenost
|
Je omezená
|
Monotonie
|
Je ryze klesající je prostá
|
Symetrie
|
Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu
|
Periodicita
|
Není periodická
|
Limity
|
tj. v okolí nuly je
|
Inverzní funkce
|
(kosinus)
|
Derivace
|
|
Integrál
|
|
Taylorova řada
|
|
Významné hodnoty
|
|
![{\displaystyle {\begin{array}{lcll}\arcsin x+\arccos x&=&{\frac {\pi }{2}}\\\arccos x+\arccos(-x)&=&\pi \\\arccos x+\arccos y&=&\left\{{\begin{array}{rl}\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x+y\geq 0\\2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x+y<0\end{array}}\right.\\\arccos x-\arccos y&=&\left\{{\begin{array}{rl}-\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x\geq y\\\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right),&x<y\end{array}}\right.\\\end{array}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767f1d26065c32668cf1b59f1bcbb89a4a1ae69e)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcll}\arccos(\cos x)&=&x,&0\leq x\leq \pi \\\cos(\arccos x)&=&x\end{array}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd8ea67ecd36063ce1d8ee3a9f26bb111ec268e)
![{\displaystyle \arccos x=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}},\quad 0<x<1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf18b54ee120163fbc4ea25f57a6ddf1937c0d38)
![{\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-{\frac {x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}{1-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{3-\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot x^{2}}{5-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{7-\displaystyle {\frac {3\cdot 4\cdot x^{2}}{9-\displaystyle {\frac {5\cdot 6\cdot x^{2}}{11-\dots }}}}}}}}}}}},\quad |x|<1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e554ebe908df94ef109492cc9db20000fbdca22)
Mějme goniometrickou rovnici:
[3]
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}2\cos x&=&1\\\hline \cos x&=&{\frac {1}{2}}\\x&=&\arccos {\frac {1}{2}}\\\hline x&=&{\frac {\pi }{3}}\end{array}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aca0792ba413c3a31b9ff6d40cab368b348c1e24)
S ohledem na periodicitu funkce
jsou řešením původní rovnice také hodnoty:
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrlr}\dots ,&{\color {OliveGreen}{\frac {-11\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {-5\pi }{3}}},&\mathbf {\frac {\boldsymbol {\pi }}{3}} ,&{\color {OliveGreen}{\frac {7\pi }{3}}},&{\color {OliveGreen}{\frac {13\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {OliveGreen}{x_{k}=}&\color {OliveGreen}{{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \\\dots ,&{\color {BrickRed}{\frac {-13\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-7\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {-\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {5\pi }{3}}},&{\color {BrickRed}{\frac {11\pi }{3}}},&\dots &\qquad {\mbox{tj.}}\quad \color {BrickRed}{x_{k}=}&\color {BrickRed}{-{\frac {\pi }{3}}+2k\pi },\;k\in \mathbb {Z} \end{array}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d921053d2894157cb3af1dd71b06980ceb66118)
- Vznikne překlopením grafu funkce
podle osy I. a III. kvadrantu.
Graf funkce arkus kosinus