Kosinus
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Cos.svg/330px-Cos.svg.png)
Kosinus je goniometrická funkce.
Pro označení této funkce se obvykle používá značka cos doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).
V pravoúhlém trojúhelníku bývá definována jako poměr přilehlé odvěsny a přepony. Definici lze konzistentně rozšířit jak na celá reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
Grafem kosinu v reálném oboru je kosinusoida (posunutá sinusoida).
Kosinus na jednotkové kružnici
[editovat | editovat zdroj]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Circle_cos2.svg/220px-Circle_cos2.svg.png)
Kosinus se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li α úhel, který má počáteční rameno v kladné poloose x a je orientovaný od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je cos α roven x-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu α, jinak řečeno, rovná se (v absolutní hodnotě) délce úsečky z počátku k patě kolmice spuštěné z tohoto průsečíku na osu x. Délce této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) y-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu α, je pak roven sin α.
Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí Pythagorova věta, takže platí:
- (sin α)2 + (cos α)2 = 1.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že kosinus je v prvním a čtvrtém kvadrantu nezáporný (≥ 0), kdežto ve druhém a třetím nekladný (≤ 0). V prvním a druhém kvadrantu je klesající, ve třetím a čtvrtém rostoucí.
Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem v úhlové míře resp. v míře stupňové, kde je celé číslo. Kosinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:
Kosinus v reálném oboru
[editovat | editovat zdroj]Funkce má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):
- Definiční obor: (reálná čísla)
- Obor hodnot:
- Rostoucí: v každém intervalu
- Klesající: v každém intervalu
- Maximum: +1 v bodech
- Minimum: −1 v bodech
- Derivace:
- Integrál:
- Taylorův polynom:
- Inverzní funkce (na intervalu a oborem hodnot : Arkus kosinus (arccos)
- Kosinus dvojnásobného argumentu:
- je:
- sudá
- omezená shora i zdola
- periodická s periodou
Kosinus v komplexním oboru
[editovat | editovat zdroj]Funkce kosinus je v komplexních číslech definována součtem řady
která konverguje na celé komplexní rovině. Pro každá dvě komplexní čísla z1,z2 platí:
Tyto vzorce plynou přímo z příslušných definičních mocninných řad daných funkcí. Kosinus je na celé komplexní rovině jednoznačná holomorfní funkce.
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu kosinus na Wikimedia Commons
Slovníkové heslo kosinus ve Wikislovníku