Edukira joan

Irudi (matematika)

Wikipedia, Entziklopedia askea
X abiaburu-multzotik Y multzorako f funtzioaren irudia Y-ren azpimultzoa da.

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, funtzio bat da multzotik multzora doana.

Elementu baten irudia

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Baldin eta -ren elementua bada, orduan -ren irudia -n, deitua, ordezkatzean -k hartzen duen balioa da. -rako -ren irteera gisa ezagutzen da.

emanda, funtzioak "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non den. Era berean, multzo bat emanda, -k "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non . Aldiz, "-k -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein -ren eremuan bada.

Azpimultzo baten irudia

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

azpimultzoaren irudia -n, deitua, -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: [1][2]

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, honela idazten da: . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, funtzio bat da zeinen eremua -ren potentzia-multzoa den eta koeremua -ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudia

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua.[3] Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzea

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

erlazio bitar arbitrarioa bada -n, orduan multzoari -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, multzoari -ren eremua deritzo.

-tik -ra doan funtzioa izanda, multzoaren aurreirudia, deitua, definitutako -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan eta erabiltzen dira.[4] Multzo baten aurreirudia edo da.

Adibidez, funtziorako, -ren aurreirudia izango litzateke. Ez da nahasi behar notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non -ren aurreirudia -n, -ren irudia den -n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat [5] irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

Geziaren notazioa

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  • ,
  • ,

Izarren notazioa

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  • , -ren ordez
  • , -ren ordez

Beste terminologiak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  • -ren ordez ere erabiltzen da. [6][7]
  • Zenbait testuk -ren irudia -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita -ren koeremua adierazteko.

1. honek definituta:

multzoaren irudia -n da. funtzioaren irudia da. -ren aurreirudia da. -ren aurreirudia ere da eta -ren aurreirudia multzo hutsa da .


2. honek definituta: .

-ren irudia -n da, eta -ren irudia da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). -ren aurreirudia -n da. multzoaren aurreirudia -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

edozein funtziorako eta eta azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

Irudia Aurreirudia

(berdin supraiektiboa bada)[8][9]

(berdin injektiboa bada)[8][9]
baldin eta soilik baldin baldin eta soilik baldin
baldin eta soilik baldin existitzen bada non den baldin eta soilik baldin
baldin eta soilik baldin baldin eta soilik baldin
[8]

Horrez gain:

  • baldin eta soilik baldin

Funtzio konposatuak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

eta funtzioetarako eta azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak , honek definituta: , berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak:
Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia: . eta multzoa urdinez agertzen dira ardatzaren azpian, haien ebakidura berdez agertzen da.

Erreferentziak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  1. (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  2. Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  3. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  4. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology.  doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  5. Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  6. Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  7. «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  8. a b c Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
  9. a b Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

Ikus, gainera

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]