Irudi (matematika)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/250px-Codomain2.SVG.png)
Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.
Formalki honela adierazten da:
Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.
Definizioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, funtzio bat da multzotik multzora doana.
Elementu baten irudia
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Baldin eta -ren elementua bada, orduan -ren irudia -n, deitua, ordezkatzean -k hartzen duen balioa da. -rako -ren irteera gisa ezagutzen da.
emanda, funtzioak "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non den. Era berean, multzo bat emanda, -k "-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada bat funtzioaren eremuan non . Aldiz, "-k -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein -ren eremuan bada.
Azpimultzo baten irudia
[aldatu | aldatu iturburu kodea]azpimultzoaren irudia -n, deitua, -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: [1][2]
Nahasteko arriskurik ez dagoenean, honela idazten da: . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, funtzio bat da zeinen eremua -ren potentzia-multzoa den eta koeremua -ren potentzia-multzoa.
Funtzio baten irudia
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua.[3] Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.
Erlazio bitarretara orokortzea
[aldatu | aldatu iturburu kodea]erlazio bitar arbitrarioa bada -n, orduan multzoari -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, multzoari -ren eremua deritzo.
Aurreirudia
[aldatu | aldatu iturburu kodea]-tik -ra doan funtzioa izanda, multzoaren aurreirudia, deitua, definitutako -ren azpimultzoa da.
Beste notazio batzuetan eta erabiltzen dira.[4] Multzo baten aurreirudia edo da.
Adibidez, funtziorako, -ren aurreirudia izango litzateke. Ez da nahasi behar notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non -ren aurreirudia -n, -ren irudia den -n.
Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat [5] irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:
Geziaren notazioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- ,
- ,
Izarren notazioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- , -ren ordez
- , -ren ordez
Beste terminologiak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- -ren ordez ere erabiltzen da. [6][7]
- Zenbait testuk -ren irudia -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita -ren koeremua adierazteko.
Adibideak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]1. honek definituta:
multzoaren irudia -n da. funtzioaren irudia da. -ren aurreirudia da. -ren aurreirudia ere da eta -ren aurreirudia multzo hutsa da .
2. honek definituta: .
-ren irudia -n da, eta -ren irudia da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). -ren aurreirudia -n da. multzoaren aurreirudia -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.
Propietateak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Orokorrean
[aldatu | aldatu iturburu kodea]edozein funtziorako eta eta azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:
Irudia | Aurreirudia |
---|---|
(berdin injektiboa bada)[8][9] | |
baldin eta soilik baldin | baldin eta soilik baldin |
baldin eta soilik baldin existitzen bada non den | baldin eta soilik baldin |
baldin eta soilik baldin | baldin eta soilik baldin |
[8] | |
Horrez gain:
- baldin eta soilik baldin
Funtzio konposatuak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]eta funtzioetarako eta azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:
Erreferentziak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- ↑ (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology. doi: . (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ a b c Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
- ↑ a b Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).