Image (mathématiques)
En mathématiques, la notion d’image est reliée à la notion d’application avec plusieurs définitions distinctes.
Étant donné une application :
- pour tout élément x de E, l’unique élément qui lui est relié dans F est appelé image de x par f, et dans ce cas on dit que x est un antécédent de par f ;
- l’ensemble des images des éléments de E est appelé ensemble image de f, ou simplement image de f, et se note ;
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Codomain2.SVG/220px-Codomain2.SVG.png)
- pour tout sous-ensemble , l’image directe de A par f est l’ensemble des images des éléments de A par f : , autrement dit c’est l’ensemble des éléments de F qui ont au moins un antécédent par f ;
- pour tout sous-ensemble , l’image réciproque ou préimage de B par f est l’ensemble des antécédents des éléments de B par f :
Cette terminologie n'est pas réservée aux seules fonctions d'une variable réelle mais à toute transformation ; ainsi on parle de l'image de la figure par symétrie.
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/220px-Surjection.svg.png)
L'ensemble image ne doit pas être confondue avec l'ensemble d'arrivée (ou codomaine) de f. Pour une fonction donnée f : X → Y, l'ensemble de définition est X et l'ensemble d'arrivée est Y. L'image f(X) de X par f, aussi appelée l'image de f, est en général seulement un sous-ensemble strict de Y. On a f(X) = Y si et seulement si f est une surjection.
Image d'une fonction
[modifier | modifier le code]Une fonction numérique ou complexe associe toujours à tout élément de l'ensemble de définition E un unique élément de l'ensemble d'arrivée F, c'est la définition d'une fonction. L'image de par se note et correspond au nombre associé à x par f. A une image peut correspondre plusieurs antécédents.
exemple : pour , 8 a pour image , mais 64 a pour antécédents