Función gamma
Este artigo contén varias ligazóns externas e/ou bibliografía ao fin da páxina, mais poucas ou ningunha referencia no corpo do texto. Por favor, mellora o artigo introducindo notas ao pé, citando as fontes. Podes ver exemplos de como se fai nestes artigos. |
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Gamma_plot.svg/325px-Gamma_plot.svg.png)
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Gamma_abs_3D.png/220px-Gamma_abs_3D.png)
En matemáticas, a función gamma (denotada como , onde é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral
converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón
o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.
Definición clásica
[editar | editar a fonte]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Complex_gamma.jpg/220px-Complex_gamma.jpg)
Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral
converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:
Esta ecuación funcional xeneraliza a relación do factorial. Pódese avaliar analiticamente:
Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:
para os enteiros non negativos n.
A función gamma é unha función meromorfa de con polos simples en e residuos .[1] Estas propiedades poden ser empregadas para estender dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.
Definicións alternativas
[editar | editar a fonte]As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:
onde é a constante de Euler-Mascheroni.
É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa
Tamén se pode a seguinte representación integral:
Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes
[editar | editar a fonte]Atopar é sinxelo:
Obtense logo unha fórmula para como unha función de :
Empregando integración por partes para resolver a integral
No límite inferior obtense directamente .
No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:
.
Polo que se anula o primeiro termo, , o que nos dá o seguinte resultado:
A parte dereita da ecuación é exactamente , co que se obtén unha relación de recorrencia:
- .
Aplicando a fórmula a uns poucos valores:
Propiedades
[editar | editar a fonte]Da representación integral obtense:
.
Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler
e a fórmula de duplicación
A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación
Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:
Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:
O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:
que se pode obter facendo na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con ou facendo a substitución na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:
(n impar)
onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:
A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:
A función gamma ten un polo de orde 1 en para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:
O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.
O desenvolvemento en Serie de Laurent de para valores 0 < z < 1 é:
Onde é a función zeta de Riemann.
Función pi
[editar | editar a fonte]Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:
Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:
A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:
Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:
Ás veces atópase a seguinte definición
onde é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.
Relación con outras funcións
[editar | editar a fonte]- Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior e inferior obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.
- A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula
- A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma . As derivadas de maior orde son as funcións poligamma .
- O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
- A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
- A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann :
Fórmula válida só se . Tamén aparece na ecuación funcional de :
Valores da función gamma
[editar | editar a fonte]Aproximacións
[editar | editar a fonte]A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.
Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.
Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.
Aplicacións da función gamma
[editar | editar a fonte]Cálculo fraccionario
[editar | editar a fonte]A n-ésima derivada de (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:
como entón onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.
Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de , de e inclusive dunha constante :
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Función gamma ![]() |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30).
- Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869.
- Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016.
- Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9.
- Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function".
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nova York: Dover.
- Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press.
- Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover.
- Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press.
- Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
- Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com (en inglés)
- Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ (en inglés)
- Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
- Approximation Formulas - Aproximacións.
- Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria[Ligazón morta].
- Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages (en inglés)
- Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
- Calculadora Función gamma