Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Gama funkcijos reikšmės kompleksiniam argumentui z (modulis). R – realioji komponentė, J – menamoji.
Gama funkcijos reikšmės išilgai realiosios ašies.
Gama funkcija (žymima
) matematikoje – faktorialo plėtinys, kuomet funkcijos apibrėžimo sritis ne tik sveikieji skaičiai. Gama funkcija yra apibrėžta visiems kompleksiniams skaičiams, išskyrus nulį ir neigiamus sveikus skaičius. Gama funkcija naudojama gama skirstinyje.[1]
![{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.\!}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341163b66ee906ee38c08cfea6531b497cd2e6d9)
Pirmasis tokį pažymėjimą įvedė Andre-Mari Ležandras.
Pirminis Eulerio gama funkcijos apibrėžimas buvo:
![{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.\!}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa001eb0cd9d3886c17a2ce240ecd72e580c3fa)
Gama funkcija kaip ir faktorialas tenkina tokius pat rekursyvinius sąryšius:
![{\displaystyle n!=n(n-1)!\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd738cc94b9ebdc52c5c317fec7b89e6f633242)
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791185416afb2f260045905d079b288700018b7)
Kartu su
:
,
gama funkcija yra taip susijusi su faktorialu:
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1494bf98f9cfe927110f67fcebbcc166f74f443c)
Taip pat
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e5042a7573b646a6f64bb22f4d23f278d8a2dc2)
ir bet kokį pusinį faktorialą galime užrašyti taip:
![{\displaystyle \left(n+{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}\times \prod _{k=0}^{n}{2k+1 \over 2}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd68aa5ca2532d46add8761a5ca762fb684a3f3)
Pavyzdžiui,
![{\displaystyle 3.5!={\sqrt {\pi }}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}\approx 11.63.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/800d8bc2924c2d8452b85e6c64e54642cf045352)
- n – matės hipersferos tūris gali būti apskaičiuotas pasinaudojant gama funkcija:
![{\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma ((n/2)+1)}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3976223aafab9fc96b3aaa851baa123b9493b753)