Pojednostavljeno govoreći, red je suma beskonačno mnogo članova nekog niza
,
tj.
.
Objekti
koji se nazivaju članovi reda, mogu označavati brojeve, funkcije, vektore, matrice, itd. Po tipu članova red može biti numerički red, funkcijski red, red vektora, red matrica itd. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis
, ili još kraće
.
Formalno, red se definira kao granična vrijednost niza parcijalnih suma. Za članove niza
definiramo novi niz
, gdje je
zbroj prvih n članova niza, tj.
![{\displaystyle S_{1}=a_{1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba5c7cf6169d04288c432732bf9bbde5c58929a)
![{\displaystyle S_{2}=a_{1}+a_{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adfb1a2b2e04ea5a1f914c0ca28cceb586c980ad)
![{\displaystyle S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06dc04aeaebd86208013d272ee07d26670c141f0)
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd1e6f6db6b920d963ef40bbd6fb21a0c50f00f)
Vrijednost
nazivamo n-tom parcijalnom sumom reda. Vrijednost
tada nazivamo redom (ili ponekad, sumom reda). Ako je vrijednost reda konačna, za red kažemo da je konvergentan. U suprotnom za red kažemo da je divergentan.
Red može imati i oblik
(npr. Loranov red) ali i oblik
![{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+\ldots +a_{1n}+\ldots )+(a_{21}+a_{22}+\ldots +a_{2n}+\ldots )+\ldots +(a_{n1}+a_{n2}+\ldots +a_{nn}+\ldots ),}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6864f6bf3e51b62008fbbd64cd76a772f8ad2267)
- Geometrijski red je red kod koga se uzastopni članovi dobivaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primjer:
![{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66ff040a6ac835d9df1731eec4b96a2a66cd385)
- U općem slučaju, geometrijski red
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778a5de787f1ea9e0f36ad780a53199c1a6b8074)
- konvergira akko |z| < 1.
- Suma geometrijskog reda je
, kada je |z| < 1.
![{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca37bf24592d1905c264408f0ec302b1ba9367b)
- Harmonijski red divergira.
- Alternirani red (ili alternirajući) je red kod kojeg uzastopni članovi imaju suprotne predznake. Na primjer:
![{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445b702b3b9b31af883d37de154044d14c2aaf2d)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4db8bb32dd8570c6b929c110c9c2b64a53f8364)
- konvergira ako r > 1 a divergira za r ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijem za konvergenciju redova. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0372ec7d32b914fc13f21b86ddec820ab4651ca)
- konvergira ako niz bn konvergira limesu L kada n teži beskonačnosti. Tada je vrijednost reda b1 − L.
Za red
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af34647e168beb46e51ff2e4547712cf3f9d4ad)
se kaže da apsolutno konvergira ako red apsolutnih vrijednosti
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/043e286dd1d8681b9b20f27ff7318d4868bbcfa5)
konvergira. U ovom slučaju početni red i sva njegova preuređenja konvergiraju, i konvergiraju k istoj sumi.
Po Riemannovom teoremu o redovima, ako red uvjetno konvergira, uvijek se može naći preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štoviše, ako su an realni, a S je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje konvergira k S.
Red
konvergira uvjetno ako je
konvergentan, a red
divergentan.
Klasičan primjer ovakvog reda je
![{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43a308ba0d01080f3c91cc3f8845124f5728204)
koji konvergira u
, ali nije apsolutno konvergentan (jer suma
divergira).
Najjednostavniji primjeri uvjetno konvergentnih redova (uključujući i gornji primjer) su alternirajući redovi.