Vandermondeov identitet ili Vandermondeova konvolucija je teorem u kombinatorici koji se može shvatiti kao jedan od brojnih načina prebrojavanja kombinacija svih
-članih podskupova skupa koji ima
članova za zadane
uz očiti uvjet
Identitet glasi:
![{\displaystyle {m+n \choose r}=\sum _{k=0}^{r}{n \choose k}{m \choose r-k}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9dfec71dab7377d7008fe1c5493753abb19212)
U svojim radovima ga je 1772. objavio francuski matematičar i kemičar Alexandre-Théophile Vandermonde (1735. – 1796.), iako je za njega znao već kineski matematičar Zhu Shijie u 14. stoljeću.
U ovom načinu prebrojavanja naglasak je na dvama različitim svojstvima prema kojima smo jednoznačno podijelili elemente nekog skupa A. (Uzmimo primjerice da skup A čini 5 različitih mesojeda i 7 različitih biljojeda: dakle, skup A čini 12 međusobno različitih životinja, ali su oni podijeljeni po svojstvu prehrane.) Sada možemo formalno dokazati teorem.
Pretpostavimo da imamo dva skupa
za
Promotrimo skup
Očito je onda
Pitamo se koliko ima različitih
-članih podskupova od
za neki fiksni
Njih ima
No, mogli smo prebrojavati na drugačiji način. Naime, od
elemenata možemo odabrati
elemenata iz
pa nam ostane
elemenata koje onda biramo iz
Takvih podskupova zato ima
Slijedi da je broj kombinacija ova suma:
Dakle, prebrojavanjem na dva načina zaista dobivamo jednakost
za zadane
[1]