군론에서 직교군(直交群, 영어: orthogonal group)은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다.
체
위의 유한 차원 벡터 공간
위에 비퇴화 이차 형식
![{\displaystyle Q\colon V\to K}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac5099e08c54b8d449aebe2f511d273f814eaca)
가 주어졌다고 하자. (만약
의 표수가 2가 아니라면, 이는
위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군
는
위의 가역 선형 변환들 가운데,
를 보존하는 것들로 구성된 군이다.
![{\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)=\{M\in \operatorname {GL} (V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b819f9ead6847234513505977cf1133ebb48c284)
이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체
에 대한 대수군이다. 또한, 만약
가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.
만약
가
차원 벡터 공간이며,
가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를
로 쓴다.
실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체
위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수
에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은
와 같이 쓴다.
직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle D\colon \operatorname {O} (n;K)\to \mathbb {Z} /2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e788c5af900683a4c8d28cdb641f82ba6a869b3a)
.
이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, 영어: Dickson invariant)이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식
과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)
특수직교군(特殊直交群, 영어: special orthogonal group)
는 딕슨 불변량의 핵이다.
.
즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.
.
특수직교군
에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군
이 존재한다.
.
이 리 군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.
일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. (
일 경우는 물론
이고, 그 범피복 공간은
이다.)
마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(영어: pin group)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\mathbb {Z} /2&=&\mathbb {Z} /2\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (n)&\to &\operatorname {Pin} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\|\\1&\to &\operatorname {SO} (n)&\to &\operatorname {O} (n)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1\end{matrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4842d02580ad464f29dabf572d537628a6b262da)
실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는
또는
와 같이 쓴다 (
).
는
정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며,
는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.
![{\displaystyle {\mathfrak {so}}(n;K)=\{M\in \operatorname {Mat} (n;K)\colon M^{\top }=-M\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c03801fb27815e4e0879f2d3555e73ee35fdcd)
체
위의 벡터 공간
위의 이차 형식
의 직교군
에 대하여, 스피너 노름(영어: spinor norm)은 다음과 같은 군 준동형이다.
![{\displaystyle N\colon \operatorname {O} (V,Q)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7b075e67fa520ccad289dbdcfb2a982902ee73)
![{\displaystyle N(R_{v})=1\qquad (Q(v)\neq 0)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0661892ab7d8b1887141fc5d7951f6c627a01ac9)
여기서
는
에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle R_{v}\colon u\mapsto u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d83652ac63cd1bed18167be60727032c04434c)
직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.
우선, 체
위의
차원 벡터 공간
위에 심플렉틱 구조
![{\displaystyle \Omega \colon V\otimes _{K}V\to V}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efef4cc50451321c0ac7e05db19839c53d58d01)
가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98db8fde816dbfeed00aa06435ab97b3c53f0ffb)
의 꼴이다. 그렇다면,
![{\displaystyle \operatorname {GL} (V;K)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c028296fa88a786c19e01b879ca66027be5a360)
위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )=\left\{M\in \operatorname {GL} (V;K)\colon \Omega (M^{\top }u,v)=\Omega (u,Mv)\qquad \forall u,v\in V\right\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc13d6310d27c2b9e0f3388c71935252e683eb13)
즉,
를
행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.
![{\displaystyle M\Omega =\Omega M}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c674a895ddf2b80e6df36cce5ac5a4699a76e52e)
마찬가지로,
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{*}(V,\Omega )=\operatorname {SL} (V)\cap \operatorname {O} ^{*}(V,\Omega )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a6e6480049bec5b089c75093b2da059b9c1699)
이다.
그렇다면, 실수 리 대수
는
의 실수 형태이다.
체
에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e042845082bbf078b41cef793598a0b2d58c52e)
만약
의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약
의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약
이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만,
이 홀수라면 그렇지 않다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SO} (n;K))={\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}}\qquad (\operatorname {char} K\neq 2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e00449f0f1665a3df45be52a4e4dcb0c60b58c)
중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(영어: projective orthogonal group)
![{\displaystyle \operatorname {PO} (n;K)=\operatorname {O} (n;K)/\operatorname {Z} (\operatorname {O} (n;K))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859783ea80a88e85eff3b62f7baf03d15a09e816)
을 얻는다.
마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n;\mathbb {C} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\equiv 1,3{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&n\equiv 2{\pmod {4}}\\(\mathbb {Z} /2)^{\oplus 2}&n\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33416acfc9f81adb962d614dca5706c506be7674)
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q;\mathbb {R} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&pq\not \equiv 0{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} /4&pq\equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e609c14285ecfa8282da370a5266e668c3269943)
복소수 리 군
는
일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약
이라면
에, 만약
라면
에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.
![{\displaystyle B_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Rightarrow \bullet }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6355e4644e82c9df3d95d6e250c8359de7a7ef23)
![{\displaystyle D_{k}\colon \bullet -\bullet -\cdots -\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1561322721451f2bbd12960fb913626e827035)
는
의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는
이며, 홀수 차수에서는
이다.
의 극대 원환면은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots \\0&&R_{k}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57849fe598bc4e029c261d6f8983cb42b80a6ddd)
여기서
![{\displaystyle R_{i}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5436c4add38faa6751d4d74b63160f3ed302403)
는 2×2 회전 행렬이다.
의 극대 원환면은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}R_{1}&&&0\\&\ddots \\&&R_{k}\\0&&&1\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc049ce0b4e09d5aac9c547dddf81d376cbdc82)
의 바일 군은 반직접곱
![{\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k}\rtimes \operatorname {Sym} (k)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dadd728b7259944d2b46825e831e6ac4f450d8)
이다. 여기서
는
![{\displaystyle \epsilon \colon \theta _{i}\mapsto \epsilon _{i}\theta _{i}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356c683cc15fc70873276d449e03f0789c7ef5e6)
와 같이 작용하며, 순열
는
![{\displaystyle \sigma \colon \theta _{i}\mapsto \theta _{\sigma (i)}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4d2bb85ec02f57859d1c039759da9ff840ec1a)
와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서
의 원소는 블록 대각 행렬
![{\displaystyle \operatorname {diag} \left(M(\epsilon _{1}),\dots ,M(\epsilon _{k}),\prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\right)\in \operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10639fbc17c05ac4ecd53543d008724b9b90d1c4)
![{\displaystyle M(+1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad M(-1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537f92a8c18864740b0e8c227ed0e8deaf6c398f)
이며,
의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의
치환행렬에
번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.
의 바일 군은 반직접곱
![{\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\cong \{\pm 1\}^{k-1}\rtimes \operatorname {Sym} (k)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be46a2dd0e003b92b60227d023e5287dbf11a3e)
이다. 포함 관계
![{\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))<\operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k+1;\mathbb {R} ))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eab4f790ac9e8a3dd5bef15bc75f3560fe247af)
아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} ))\to \operatorname {Weyl} (\operatorname {SO} (2k;\mathbb {R} )){\xrightarrow {\phi }}\{\pm 1\}\to 1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cb01b5bdfb44c100ebad9fa411b703b87fb16d)
이며,
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \phi \colon (\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{k},\sigma )\mapsto \prod _{i=1}^{k}\epsilon _{k}\in \{\pm 1\}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e929b18f78368bc52867b3da3b9e3c6c97aadbda)
실수 직교군
은
차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식
인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군
를 이룬다.
복소수 직교군
은 복소수
차원(실수
차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다.
인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이
인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군
를 이룬다.
실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))\cong \pi _{1}(\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} ))\cong {\begin{cases}1&n=1\\\mathbb {Z} &n=2\\\mathbb {Z} /2&n>2\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a21861c860d1ada7cef8021c0651b9b1b926773)
이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면
에서는
를,
에서는 스핀 군
을 얻는다.
부정부호 실수 직교군
(
)는 네 개의 연결 성분을 가지며,
![{\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))=(\mathbb {Z} /2)^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c428d7d8835e68f5bf52a14f8fa464d0870cf16b)
이다. 여기서 한
는
차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는
차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다.
는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우
![{\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {SO} (p,q;\mathbb {R} ))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset \pi _{0}(\operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} ))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f9bbfa848434793a0ca74db4d36f46a184d33b)
이다.
의 연결 부분군을
라고 한다.
부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {SO} ^{+}(p,q;\mathbb {R} ))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (p;\mathbb {R} ))\times \pi _{1}(\operatorname {SO} (q;\mathbb {R} ))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4688b7cba245e3602c7e0a9997f62e1eddfb8)
호프 올뭉치
![{\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{n}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f484cf514a5461171b6fff07efb77b1c922d32da)
로 인하여, 만약
이라면
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {O} (n+1))}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8939f78c12c0aaae7e9743c5235daa337f70fba5)
이다.[1]:112 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.[1]:113
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (n))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}\qquad (i<n-1)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266c73a09768561edaa7f9a36edb5e460d6dfad8)
이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
직교군
|
π0
|
π1
|
π2
|
π3
|
π4
|
π5
|
π6
|
π7
|
π8
|
π9
|
O(1) |
ℤ/2 |
ℤ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0
|
O(2)
|
ℤ/2 |
ℤ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0
|
O(3) |
ℤ/2
|
ℤ/2 |
0 |
ℤ |
ℤ/2 |
ℤ/2 |
ℤ/12 |
ℤ/2 |
ℤ/2 |
ℤ/3
|
O(4) |
ℤ/2 |
ℤ/2
|
0 |
ℤ2 |
(ℤ/2)2 |
(ℤ/2)2 |
(ℤ/12)2 |
(ℤ/2)2 |
(ℤ/2)2 |
(ℤ/3)2
|
O(5) |
ℤ/2 |
ℤ/2 |
0
|
ℤ |
ℤ/2 |
ℤ/2 |
0 |
ℤ |
0 |
0
|
O(6) |
ℤ/2 |
ℤ/2 |
0 |
ℤ
|
0 |
ℤ |
0 |
ℤ |
ℤ/24 |
ℤ/2
|
특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {SO} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>0\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ff20111ab83b0ae2d50e8c6dc6668a6308b657)
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Spin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=0,1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i>1\end{cases}}\qquad (n>2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61c115d44b05a410711e2fcd9d659350124f5d0)
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {Pin} (n))\cong {\begin{cases}0&i=1\\\pi _{i}(\operatorname {O} (n))&i\neq 1\end{cases}}\qquad (n>2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b85e5cecd414d92311ee944d044bd371b133e0b)
다음과 같은 무한 직교군
을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {O} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {O} (n)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2ab54f33cbb3ba951439ad15736197278c9b57)
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} (\infty ))={\begin{cases}0&i\equiv 2,4,5,6{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /2&i\equiv 0,1{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} &i\equiv 3,7{\pmod {8}}\end{cases}}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f5c06c87e6b1d2a86fa9d74ca6aae92db2a36c)
이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.[1]:112, Theorem 1
![{\displaystyle \operatorname {O} (\infty )\simeq \Omega ^{8}\operatorname {O} (\infty )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed87abca8831826b27f2cf293b4a55a60b388054)
무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간
의 직교군
는
와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때,
는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.[2]
![{\displaystyle \pi _{i}(\operatorname {O} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc3fa4c8257b4f4db6d6fd5fbde4223c54ea09e)
모든
에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {USp} (2n)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6eae6f9320355cefa1a643b696c62bcddf15bf5)
![{\displaystyle \operatorname {SU} (n;\mathbb {R} )\subset \operatorname {SO} (2n)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2357868522f4ac5fe007c2e71995fed3a069493a)
. 만약
이 짝수인 경우, 이는
의 딘킨 도표를
대칭을 따라 접은 것이다. 만약
이 홀수인 경우, 이는
의 딘킨 도표에
로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤,
로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.
![{\displaystyle 2\mid n\colon \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \langle {\bullet \atop \bullet }\qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{n/2-3}-\bullet \Rightarrow \bullet }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3988166edb705441a0b5141268cee79c3c87439a)
![{\displaystyle 2\nmid n\colon \qquad \bullet -\bullet -\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}\Rightarrow \circ \qquad \to \qquad \bullet -{\overset {\scriptstyle \otimes \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\overbrace {\bullet -\cdots -\bullet } ^{\lfloor n/2\rfloor -3}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1234f3806bf729645ab42fea81010b4685091d)
- 만약
또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\subset G_{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5470bc299344e5b12e10f152679237de02462334)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (9)\subset F_{4}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0c694fb291a16f810c472e292a769794962c3b)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (10)\subset E_{6}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860681d1401362c6e24a13256c2eb93beaa558b7)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (12)\subset E_{7}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64e8037d5fcf91423308ef0e0eb34ae18404d70)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (16)\subset E_{8}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc080d2ce7caa5a7fed3ffee32c0cbd6f9c2f51)
6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)을 보인다.
- 1차원
![{\displaystyle \operatorname {O} (1)\cong \operatorname {Spin} (1)\cong \mathbb {Z} /2}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387f86d30878963acf68383b8dc2786293c9ddc1)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {PSO} (1)\cong 1}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55071d80f6fc7196137ec22b4f0993e2cb7246c)
- 2차원
![{\displaystyle \operatorname {SO} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \mathbb {S} ^{1}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd02b9d0226fc0dc3626e75a45023b47280c6de9)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(1,1;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2f505792324814fb9b63564493299a403a0133)
- 3차원
![{\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {PUSp} (2)\cong \mathbb {RP} ^{2}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6c3697095473b3a2c30368f69ed8ab3e0d66f0)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {USp} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0950de5affd9bf839d1717f76715c797b4a14759)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecbe6e1133d462f39857c6a0ffe2fc4e0735252)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(2,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9d6e58a07d333bd8c0a774884a023ca64faa6)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}(2,1)\cong \operatorname {SL} (2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f0d0a416c3a3513e84ca1f6346a0a55cd412835)
- 4차원
![{\displaystyle \operatorname {SO} (4;\mathbb {R} )\cong \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b52894c36a44c6b417065d1a77ed4ecca493dc9)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90876ac321c5a9d9e5b695289543553f659a990a)
![{\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2)\times \operatorname {PSU} (2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8543f60a570c5fc8aa2dda0a09983d17286ca8c9)
![{\displaystyle \operatorname {PSO} (4;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\times \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aaf29de2b75dc4bd81fe09d27f97eee0d6dd991)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SO} (3;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PGL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )\cong \operatorname {PSp} (2;\mathbb {C} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db039d6977b44b19acfd254a19416e8b260e1fbb)
- 5차원
![{\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} (5;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PUSp} (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7367cacf4bd9a0c0c8e32c176a723c5e55dc2c)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (5)\cong \operatorname {USp} (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadd89ec4fdaf2126579748c52d50c03f91a57a9)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711457a6ee9641ca5aa7b258bbe05c9d97ce85db)
- 6차원
![{\displaystyle \operatorname {SO} (6)\cong \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412cfff63294d0989871ddf73b4c41cf1b3a426e)
![{\displaystyle \operatorname {PSO} (6)\cong \operatorname {PSU} (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc04dd89b7fe42652c75558608bd7601e1e6de1)
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d87b83d1741db6400a7e2eec25574593d546517)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(5,1;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {H} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bd7ade328dab355a3b1382aff0ef5a5672d093)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {SU} (2,2)/(\mathbb {Z} /2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29310a466a7bf980c9e6ac18c835b2c6585c94e6)
![{\displaystyle \operatorname {PSO} ^{+}(4,2;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSU} (2,2)}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c30a226bd43371804e099e806e56c4c80c5a67b)
![{\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(3,3;\mathbb {R} )\cong \operatorname {PSO} ^{+}(3,3)\cong \operatorname {PSL} (4;\mathbb {R} )}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfb3fa6058af2527e373e5b943c930f47e1b422)
가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간
위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..
홀수 차원에서, 제곱수가 아닌
에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는
과
의 꼴이다 (
는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군
은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가
인 것을 플러스형,
인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각
라고 쓴다.[3]:69–75
표수가 2가 아닌 유한체
(
,
소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.[3]:72, (3.30)–(3.32)
![{\displaystyle |\operatorname {O} (2n+1;\mathbb {F} _{q})|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6b46ce739536821cae8df45adabfeaffab7886)
![{\displaystyle |\operatorname {O} ^{+}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094a9bb4d93e6a421b10eec7e97b5d08e3c6792a)
![{\displaystyle |\operatorname {O} ^{-}(2n;\mathbb {F} _{q})|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})}](http://178.128.105.246/cars-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456829190c7a4805d9f3055bc231842180e6553a)
표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.
구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.
직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.
특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.
등각 장론에서,
-차원 시공간의 등각 대칭군은
이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.
이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.