Invers funksjon
![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Inverse_Function.png/250px-Inverse_Function.png)
En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis
- og
for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:
Uttrykket må ikke forveksles med
En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.[1]
Egenskaper
[rediger | rediger kilde]Definisjonsområder
[rediger | rediger kilde]Dersom er en inverterbar funksjon med domene og kodomene , vil den inverse funksjonen av f ha domene og kodomene :
- og
De sammensatte funksjonene og er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:
- og
Eksistens
[rediger | rediger kilde]En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:
- Dersom har en invers , så vil for enhver , slik at , altså er f surjektiv
- Dersom og f har en invers , så er , altså er og f er injektiv
Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:
- Dersom er bijektiv, og , vil det finnes én og bare én slik at . Altså kan man definere en funksjon slik at for enhver , som vil være en invers av f.[2]
Se også
[rediger | rediger kilde]Referanser
[rediger | rediger kilde]- ^ «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I)». 27. august 2018. Besøkt 26. januar 2018.
- ^ Patrick Keef, David Guichard. «4.6 Bijections and Inverse Functions». Besøkt 26. januar 2018.
Eksterne lenker
[rediger | rediger kilde]- (en) Eric W. Weisstein, Inverse Function i MathWorld.