Czterowektor
Czterowektor – wektor o czterech współrzędnych należący do czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową (dokładniej przestrzenią wektorową pseudoeuklidesową).
Archetypem wszystkich 4-wektorów jest 4-wektor położenia. Na jego podstawie definiuje się wszystkie inne 4-wektory.
Definicja 4-wektora kontrawariantnego
Nie każdy zespół 4 liczb można nazwać 4-wektorem. Aby tak było, musi być spełniony istotny warunek: 4 liczby otrzymane z pomiarów wykonanych przez różnych obserwatorów oraz mierzących daną wielkość fizyczną na tym samym obiekcie i w tej samej sytuacji fizycznej (np. pomiar energii-pędu tej samej cząstki, która mija tę samą bramkę) muszą być ze sobą ściśle związane. W szczególności, jeżeli obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi to związki te zadane są przez transformację Lorentza:
gdzie:
- – wyniki pomiarów obserwatora
- – wyniki pomiarów obserwatora
- – prędkość światła (zgodnie ze Szczególną Teorią Względności Einsteina identyczna dla każdego obserwatora).
Liczbę nazywa się współrzędną czasową.
Liczby nazywa się współrzędnymi przestrzennymi.
Czterowektor zapisany z górnymi indeksami nazywa się 4-wektorem kontrawariantnym.
Czterowektor kontrawariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci
gdzie – wektor o współrzędnych przestrzennych.
Definicja 4-wektora kowariantnego
Ponadto definiuje się czterowektor z dolnymi indeksami – nazywa się je 4-wektorami kowariantnymi.
Wektory kowariantne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem Minkowskiego – patrz niżej) różnią się od kontrawariantnych znakiem współrzędnych przestrzennych, tj.
- – wektor kowariantny
oraz
Czterowektor kowariantny zapisuje się w skróconej formie w postaci
gdzie – wektor (kontrawariantny) o współrzędnych przestrzennych.
Uwaga: Ogólna transformacja Lorentza może być reprezentowana za pomocą macierzy 4x4 Λ. Wtedy działanie transformacji Lorentza na 4-wektor kontawariantny A, reprezentowany w postaci wektora kolumnowego, jest dana za pomocą mnożenia macierzy przez wektor.
4-wektory w postaci kowariantnej przedstawia się wtedy w postaci wierszowej; takie wektory transformują się za pomocą mnożenia przez macierz transponowaną względem macierzy odwrotnej do macierzy Lorentza Λ.
Zasada opuszczania wskaźników 4-wektora
Aby otrzymać współrzędne kowariantne 4-wektora, należy pomnożyć współrzędne kontrawariantne przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej (rozważanej np. w Ogólnej Teorii Względności), związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą tensora metrycznego
przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując
W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać (oznaczaną tu symbolem )
Dlatego opuszczanie wskaźnika sprowadza się tu do zmiany znaku przy współrzędnej przestrzennej kontrawariantnej.
Zasada podnoszenia wskaźników 4-wektora
Aby otrzymać współrzędne kontrawariantne 4-wektora, mając współrzędne kowariantne, należy te ostatnie pomnożyć przez tensor metryczny. Dla czasoprzestrzeni w ogólności zakrzywionej związek między współrzędnymi kowariantymi i kontrawariantnymi dany jest za pomocą postaci kontrawariantnej tensora metrycznego
przy czym sumuje się po powtarzającym się wskaźniku, przyjmując
W płaskiej czasoprzestrzeni tensor metryczny kontrawariantny jest diagonalny (tzw. tensor Minkowskiego) i ma postać identyczną jak tensor kowariantny (oznaczaną tu symbolem ), czyli
Podnoszenie wskaźnika sprowadza się więc do zmiany znaku przy współrzędnych przestrzennych kowariantnych
Długość 4-wektora
Czterowektory są obiektami geometrycznymi. Z tej racji np. ich długość obliczona w różnych układach odniesienia musi dać tę samą wartość. Kwadrat długości 4-wektora wyrażają 3 równoważne wzory:
- lub
przy czym sumuje się po powtarzających się wskaźnikach, przyjmując
Pierwszy wzór zapisany bez konwencji sumacyjnej Einsteina ma 4 składowe, a ostatnie dwa zawierają w ogólności po 16 składowych.
W płaskiej czasoprzestrzeni powyższe wzory na kwadrat długości 4-wektora sprowadzają się do postaci
lub
Z ostatniego wzoru widać, iż długość 4-wektora w czasoprzestrzeni nie wyraża się przez uogólniony wzór na długość wektora znany z geometrii Euklidesowej (w którym mielibyśmy sumę kwadratów współrzędnych); czasoprzestrzeń jest bowiem przestrzenią pseudoeuklidesową. W szczególności długości 4-wektorów mogą mieć wartości mniejsze od zera.
Klasyfikacja 4-wektorów.
Ze względu na długość 4-wektory dzieli się na:
- czasowe – gdy
- zerowe – gdy
- przestrzenne – gdy
Powyższe własności 4-wektorów są niezależne od układu odniesienia, gdyż: dokonując transformacji Lorentza danego 4-wektora do innego układu, otrzyma się inne współrzędne, ale jego długość nie zmieni się. Mówi się, że powyższe własności długości 4-wektorów są Lorentzowsko niezmiennicze. Np. 4-wektor czasowy w jednym układzie będzie wektorem czasowym w każdym układzie odniesienia.
Iloczyn skalarny czterowektorów
Iloczyn skalarny 4-wektorów definiuje się następująco:
- lub
Tak zdefiniowany Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem przekształceń Lorentza. Gdy to powyższe wzory sprowadzają się do wzorów na długość 4-wektora, podane wyżej.
Kolejność czasowa zdarzeń. Związki przyczynowo-skutkowe
Niezmienniczość podziału 4-wektorów na czasowe, zerowe i przestrzenne prowadzi do wniosków:
(1) Tylko wtedy, gdy dwa zdarzenia są oddzielone czasowym lub zerowym interwałem czasoprzestrzennym, to można o jednym z nich powiedzieć, iż jest wcześniejsze niż drugie; i to zdarzenie wcześniejsze może (ale nie musi) mieć wpływ na zdarzenie późniejsze
Uwaga: Zdarzenie wcześniejsze wywrze wpływ na zdarzenie późniejsze, gdy podczas zajścia zdarzenia wcześniejszego nastąpi emisja pola fizycznego, które poruszając się z prędkością światła dotrze do zdarzenia późniejszego i ponadto wywrze na nie wpływ.
(2) Zdarzenia oddzielone interwałem przestrzennym nie mogą mieć wpływu na siebie, gdyż żadne oddziaływanie, nawet poruszające się z prędkością światła, nie jest w stanie dotrzeć od jednego ze zdarzeń do drugiego; takim zdarzeniom nie można przypisać też absolutnej kolejności czasowej.
Czterowektor położenia w czasoprzestrzeni
Definicja 4-wektora położenia
Czterowektorem położenia w czasoprzestrzeni nazywamy 4-wektor o postaciach:
- postać kontrawariantna (o górnych wskaźnikach)
- postać kowariantna (o dolnych wskaźnikach)
Współrzędna – tzw. współrzędna czasowa, – tzw. współrzędne przestrzenne.
Uwaga:
Współrzędna czasowa 4-wektora położenia ma wymiar długości, podobnie jak pozostałych współrzędnych czterowektora (jest równa czasowi wyrażonemu w sekundach x prędkość światła w próżni, czyli jej wymiarem jest metr).
Sens fizyczny 4-wektora położenia
Czterowektor położenia opisuje czas oraz położenie przestrzenne zajścia jakiegoś zdarzenia w czasoprzestrzeni, przy czym przez zdarzenie rozumie się jakieś krótkotrwałe zjawisko, np. fakt mijania słupka przez cząstkę – zjawisko to zachodzi w chwili w położeniu co obserwator opisuje za pomocą czterowektora
Własności transformacyjne 4-wektora położenia
Temu samemu zdarzeniu inny obserwator przypisze własny czterowektor zawierający wyniki pomiaru czasu i położenia dokonane względem jego układu odniesienia i za pomocą jego własnego zegara. Zespoły liczb otrzymane przez różnych obserwatorów będą na ogół różnić się – jeżeli np. obserwatorzy są w ruchu względem siebie. Jednak wykonując pomiary wielu zdarzeń i porównując je ze sobą, obserwatorzy stwierdzą, że zachodzą między ich wynikami ścisłe zależności. W najprostszym przypadku, gdy obserwator porusza się względem obserwatora z prędkością w kierunku osi – przy czym oznacza tu współrzędną wektora prędkości – to związki te zadane są przez tzw. transformację Lorentza:
Zapisując współrzędne w postaci transformacje Lorentza mają bardziej symetryczną postać
Aby otrzymać transformację odwrotną, wystarczy do powyższej transformacji podstawić zamiast symbol i zamienić symbole primowane z nieprimowanymi:
Uwaga: Współrzędne każdego innego 4-wektora poddane transformacji Lorentza muszą dać współrzędne tego 4-wektora w nowym układzie. Nie każdy zespół 4 liczb będzie więc 4-wektorem.
Interwał czasoprzestrzenny zdarzeń
Definicja
Df. Interwałem czasoprzestrzennym zdarzeń nazywa się długość różnicy dwóch czterowektorów, opisujących dwa zdarzenia w czasoprzestrzeni.
Interwał jest analogiem odległości w zwykłej przestrzeni.
Niezmienniczość interwału
Tw. Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.
Dowód:
(1) Rozważmy dwa zdarzenia oraz zachodzące w czasoprzestrzeni, np. – cząstka mija bramkę, – następuje eksplozja supernowej. Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń
Różnica czterowektorów jest czterowektorem którego długość, czyli interwał w płaskiej czasoprzestrzeni wynosi
(2) Obserwator przypisze tym zdarzeniom czterowektory położeń
Obliczając interwał w płaskiej czasoprzestrzeni, otrzyma
(3) Ponieważ współrzędne związane są ze współrzędnymi za pomocą transformacji Lorentza – i podobnie dla zdarzenia to podstawiając do ostatniego wzoru te zależności i wykonując proste przekształcenia, otrzyma się wyrażenie identyczne jak dla tj.
Oznacza to, że interwały obliczone dla dowolnych dwóch zdarzeń nie zależą od obserwatora. Mówimy, ze interwały są niezmiennikami transformacji Lorentza.
Niezmienniczość interwału stanowi o własnościach geometrycznych czasoprzestrzeni.
Interwał dla światła
Interwał obliczony dla światła jest zerowy w tym sensie, że:
Jeżeli zdarzenie polega na emisji światła z danego źródła, a zdarzenie polega na odbierze tego światła przez jakiś detektor, to
gdyż lewa strona równości przedstawia kwadrat drogi przebytej przez światło, a prawa strona przedstawia kwadrat odległości przestrzennej dzielącej źródło i detektor. Przenosząc wyrażenie z prawej strony na lewą, otrzyma się wyrażenie na interwał czasoprzestrzenny. Oznacza to, że interwał dla światła jest zerowy – i własność ta jest taka sama dla dowolnego obserwatora.
Uwaga:
Niezmienność interwału wynika de facto z postulatu niezmienniczości prędkości światła względem wszystkich obserwatorów, na którym Einstein w 1905 r. oparł Szczególną Teorię Względności. Transformacja Lorentza, którą w tym artykule zakłada się, jest tego konsekwencją.
Różniczka interwału czasoprzestrzennego zdarzeń
(1) Df. Różniczką interwału czasoprzestrzennego nazywa się interwał obliczony dla dwóch zdarzeń leżących w infinitezymalnej odległości czasoprzestrzennej.
(2) Np. jeżeli mamy dwa zdarzenia opisane 4-wektorami
to różniczkowy 4-wektor dzielący te zdarzenia wynosi
Jego długość oblicza się z ogólnego wzoru na długość 4-wektora, tj.
Jeżeli współrzędne zdarzenia oznaczymy symbolami a przyrosty tych współrzędnych oznaczymy symbolami
to różniczka wyrazi się w zwartej formie wzorem
gdzie – tensor metryczny Minkowskiego w punkcie
(3) W dowolnie zakrzywionej czasoprzestrzeni różniczka interwału wyrazi się wzorem
gdzie – tensor metryczny w punkcie
Czterowektor prędkości
Definicja
Czterowektorem prędkości nazywamy pochodną czterowektora położenia cząstki względem interwału czasoprzestrzennego:
gdzie:
- – różniczka interwału czasoprzestrzennego dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki, dla której definiuje się 4-wektor prędkości,
- – czterowektor infinitezymalnego przemieszczenia cząstki w czasoprzestrzeni.
Przy czym zachodzi związek:
Aby pokazać, jaki jest sens fizyczny tak przyjętej definicji 4-wektora prędkości należy najpierw zauważyć, że:
Tw. 1:
gdzie – infinitezymalny upływ czasu własnego, przy czym – tzw. czas własny cząstki, czyli czas mierzony w układzie, w którym cząstka (przynajmniej chwilowo) jest w spoczynku. Powyższy wzór oznacza, że:
- Różniczka interwału dzielącego dwa bliskie zdarzenia leżące na linii świata cząstki jest proporcjonalna do upływu czasu własnego cząstki tj. czasu, jaki dzieli te zdarzenia, zamierzonego zegarem poruszającym się z cząstką.
Dowód:
W układzie, w którym cząstka spoczywa, jej przemieszczenia przestrzenne są zerowe, tj. Oznaczając upływ czasu w układzie cząstki symbolem i podstawiając to do wzoru na interwał liczony w układzie cząstki, otrzyma się szukany wzór:
- cnd.
Tw. 2:
– infinitezymalny upływ czasu mierzony w układzie, w którym cząstka ma prędkość przestrzenną jest większy o czynnik od upływu czasu w układzie cząstki (przy czym jest istotnie większa od 1 dla dużych prędkości ).
Dowód:
Z transformacji Lorentza, napisanej dla różniczek przemieszczeń i czasu mamy
gdzie przyjęto oznaczenie Przemieszczenia cząstki w układzie jej czasu własnego jest zerowe, tj. Stąd otrzymamy wzór (równoważny w sposób trywialny tezie twierdzenia)
- cnd.
Ostatecznie z Tw. 1 oraz Tw. 2 mamy:
Między upływem czasu własnego cząstki, upływem czasu w układzie spoczynkowym oraz różniczką interwału dla zdarzeń na linii świata cząstki zachodzą zależności:
Wzory te pozwalają znaleźć postać 4-wektora prędkości, zależną w jawny sposób od prędkości cząstki, co pokazano niżej.
Elementy przestrzenne 4-wektora prędkości
gdzie: oraz – współrzędne wektora prędkości cząstki w przestrzeni takie że:
Element czasowy 4-wektora prędkości
Jawna postać 4-wektora prędkości
Na podstawie powyższych wzorów czterowektor prędkości można zapisać w postaci jawnie zależnej od prędkości cząstki
Tw. 3: Długość czterowektora prędkości wynosi 1.
Dowód: Pisząc równość i dzieląc ją obustronnie przez otrzyma się
Korzystając z definicji czterowektora prędkości, otrzymuje się
lub równoważnie – po opuszczeniu jednego wskaźnika
Powyższe dwa wzory przedstawiają po prawych stronach wyrażenia na długość 4-wektora prędkości, która wg lewych stron tych równości wynosi 1, cdn.
Uwaga 1: Czterowektor prędkości jest bezwymiarowy – nie ma wymiaru prędkości.
Uwaga 2: Dla światła nie można zdefiniować czterowektora prędkości, gdyż: a) Wartość interwału czasoprzestrzennego dla światła jest zawsze równa zeru – w definicji 4-wektora prędkości mielibyśmy zero w mianowniku. b) Podstawiając do wzoru na wartość uzyska się symbol nieoznaczony.
Uwaga 3: Dla światła nie można dokonać transformacji Lorentza do układu poruszającego się z prędkością światła – wtedy bowiem otrzymuje się zera w mianownikach symbolu
Uwaga 4: Układ odniesienia związany ze światłem jest w pewnym sensie wyróżniony, bowiem w każdym innym układzie odniesienia prędkość sygnału świetlnego w próżni jest taka sama – niezależnie od tego, z jak wielką prędkością układ ten porusza się np. w stronę źródła światła (co jest wbrew klasycznej fizyce, wg której obserwator w takim układzie mierzyłby prędkość światła większą niż c).
Uwaga 5: Upływ czasu mierzy się w teorii względności za pomocą sygnałów świetlnych. Czy da się zmierzyć upływu czasu w układzie poruszającym się z prędkością światła? Przekształcając wzór otrzyma się
– wzór ten przedstawia upływ czasu w układzie poruszającym się z prędkością gdy w układzie spoczywającym upływa czas Podstawiając do tego wzoru otrzyma się – dla światła czas nie płynie.
Uwaga 6: Długość (norma) 4-wektora prędkości obliczona w czasoprzestrzeni Minkowskiego zależy od przyjętej sygnatury tensora metrycznego. W tym artykule przyjęto sygnaturę (+,---) – wtedy długość wynosi 1. Jeżeli przyjąć sygnaturę (-,+++), to długość wyniesie bo wtedy
Uwaga 7: Jeżeli cząstka pozostaje w spoczynku, tzn. – wtedy jej 4-wektor prędkości ma postać czyli jest równoległy do współrzędnej czasowej, której wartość wynosi (bo ). Oznacza to, że:
Cząstka porusza się w czasoprzestrzeni (wzdłuż linii prostej, równoległej do osi czasowej), mimo że spoczywa w przestrzeni. W czasoprzestrzeni nie istnieje stan spoczynku.
Czteroprędkość jako wektor styczny do trajektorii cząstki
Geometrycznie czteroprędkość jest wektorem stycznym do linii świata cząstki (unormowanym do 1 lub -1).
Uzasadnienie:
Linia świata cząstki jest definiowana jako krzywa w czasoprzestrzeni (przestrzeni 4-wymiarowej), którą kreśli poruszająca się cząstka; jak każdą krzywą linię świata można zapisać w postaci parametrycznej, tj. podając zależności współrzędnych wektora wodzącego punktów krzywej od parametru, np. od interwału czyli
Pochodna wektora wodzącego po parametrze jest wektorem stycznym do krzywej, czyli
Wektor ten jest tożsamy z wcześniej zdefiniowanym 4-wektorem nazwanym 4-wektorem prędkości cząstki. Jak pokazaliśmy, długość tego wektora wynosi 1 (lub -1 dla sygnatury (-+++)).
Czterowektor pędu
Definicja
Kontrwariantnym czterowektorem pędu ciała nazywa się iloczyn 4-wektora prędkości ciała przez
gdzie: – masa spoczynkowa cząstki. Wykorzystując wzór otrzymamy
Długość 4-wektora pędu
Korzystając z ogólnego wzoru na długość dowolnego 4-wektora, kwadrat długości 4-wektora pędu przyjmie postać
Podstawiając otrzymamy
Widać, że długość 4-wektora pędu jest stałą liczbą czyli niezależny od układu współrzędnych, w którym się ja oblicza.
Uwaga: Do fotonów nie stosuje się transformacja Lorentza oraz fotony mają zerową masę spoczynkową, dlatego powyższej definicji 4-pędu nie można zastosować do fotonów.
Wyrażenie 4-pędu przez energię i pęd ciała
Energię całkowitą ciała i 3-wektor pędu ciała definiuje się następująco
Podstawiając powyższe wielkości do definicji 4-wektora pędu otrzyma się równoważną postać
Składowymi czterowektora pędu są energia i pęd cząstki – dlatego wektor ten nazywa się też 4-wektorem energii-pędu:
a) współrzędna czasowa jest równa energii cząstki podzielonej przez prędkość światła
b) współrzędne przestrzenne są składowymi 3-wektora pędu cząstki
gdzie: – tzw. masa relatywistyczna cząstki.
Uwaga: 3-wektor pędu (pęd relatywistyczny) jest iloczynem masy relatywistycznej i prędkości cząstki.
Związek między energią, pędem i masą
Obliczając długość 4-wektora pędu zapisanego w postaci i porównując otrzymaną wielkość z wyrażeniem otrzyma się zależność
czyli
Powyższe wzór na energię relatywistyczną cząstki stanowi podstawę do konstrukcji równań mechaniki kwantowej relatywistycznie niezmienniczych – równania Kleina-Gordona (opisującego cząstki bez spinu) i równania Diraca (opisującego elektrony, pozytony i inne fermiony o spinie 1/2).
Czterowektor siły
Definicja
Czterowektorem siły nazywa się pochodną czteropędu względem interwału czasoprzestrzennego:
lub równoważnie – korzystając ze wzoru
Współrzędne przestrzenne czterowektora siły
Część przestrzenna czterowektora siły ma więc postać
Powyższy wzór można przekształcić, wprowadzając 3-wektor siły w postaci
– identyczny wzór podał już Newton, formułując II zasadę dynamiki; Einstein zmodyfikował newtonowski wzór na pęd, zastępując iloczyn masy i prędkości wyrażeniem
Ponieważ to przyjmie postać
Oznacza to, że: składowa przestrzenna 4-siły jest proporcjonalna do 3-wektora siły.
Współrzędna czasowa czterowektora siły
Różniczkujemy wyrażenie na długość 4-wektora prędkości po interwale czasoprzestrzennym
co daje
Korzystając z faktu, że tensor metryczny jest symetryczny, otrzyma się
Mnożąc powyższe wyrażenie przez i podstawiając otrzyma się
Korzystając z definicji czterowektora siły otrzyma się
lub równoważnie (po opuszczeniu wskaźnika)
czyli
(gdzie sumowanie przeprowadza się po ). Wyznaczając część czasową czterowektora siły, otrzyma się
Wyrażenie czterowektora siły przez pęd, energię i siłę
Wykorzystując otrzymane wzory na i czterowektor siły zapiszemy w postaci
Widać stąd, że czterowektor siły wyraża się przez prędkość, pęd i energię cząstki oraz siłę działającą na cząstkę.
Czterowektor falowy
(1) Czterowektor falowy – to czterowektor przypisany fali świetlnej lub fali materii poruszającej się w kierunku (gdzie – wektor falowy fali), o częstotliwości
(2) Kwadrat długości tego 4-wektora wynosi
(3) Jeżeli rozważaną falą jest fala materii, to słuszne są zależności podane przez de Broglie’a pomiędzy częstotliwością fali i jej wektorem falowym, a energią cząstki i jej pędem
gdzie – stała Plancka podzielona przez
Czterowektor wyrażony przez przyjmie postać
lub
Korzystając ze wzoru na długość 4-wektora pędu, otrzymamy
gdzie – masa cząstki.
Czterowektor gęstości prądu
Czterowektor gęstości prądu – to czterowektor przypisany prądowi elektrycznemu (składowa czasowa jest relatywistyczną gęstością ładunku pomnożoną przez prędkość światła; składowa przestrzenna jest wektorem gęstości prądu elektrycznego )
Zobacz też
- czasoprzestrzeń Minkowskiego
- czas własny
- czterowektor gęstości prądu elektrycznego
- czterowektor pędu
- interwał czasoprzestrzenny
- wektor styczny
- współrzędne krzywoliniowe
- zdarzenie czasoprzestrzenne
Bibliografia
W języku polskim:
- L.D. Landau, J.M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009 (klasyczny podręcznik).
- K Pomorski: Mechanika teoretyczna. Lublin: Wydawnictwo UMCS Lublin, 2000. ISBN 83-227-1667-2.
W języku angielskim:
- Wolfgang Rindler , Introduction to Special Relativity (2nd edn.), wyd. 2nd ed, Oxford [England]: Clarendon Press Oxford, 1991, ISBN 0-19-853952-5, OCLC 22490653 .
- D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press, 2017.
- D.J. Griffiths, Introduction to Elementary Particles, WILEY-VCH, Veinhein 2008.