Granica i kogranica
Granica i kogranica – w teorii kategorii dwie dualne względem siebie konstrukcje będące pewnego rodzaju uogólnieniem pojęć produktu, produktu włóknistego (pull-backu) i ekwalizatora w przypadku granicy oraz pojęć dualnych do wymienionych: koproduktu, koproduktu włóknistego (push-outu) czy koekwalizatora w przypadku kogranicy.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]![](http://178.128.105.246/cars-http-upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Functor_cone_%28extended%29.svg/220px-Functor_cone_%28extended%29.svg.png)
Granice w kategorii definiuje się za pomocą pojęcia diagramu w Granicą diagramu nazywa się dowolny obiekt kategorii wraz z morfizmami dla każdego obiektu kategorii spełniający następujące warunki:
- zgodność,
- dla każdego morfizmu w zachodzi równość
- uniwersalność,
- dla dowolnego innego obiektu wraz z rodziną morfizmów spełniającego powyższy warunek zgodności istnieje jeden i tylko jeden taki morfizm że dla każdego zachodzi
Obiekty wraz z rodziną morfizmów spełniające warunek zgodności nazywa się stożkami nad diagramem Stożki nad ustalonym diagramem w tworzą kategorię, w której morfizmy tej kategorii między pewnymi stożkami spełniają Wynika stąd, że granice diagramów to obiekty końcowe w kategorii stożków, zatem są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.
Kogranicę w kategorii można zdefiniować jako granicę w kategorii przeciwnej bądź wprost: wprowadzając analogicznie pojęcie kostożka diagramu i definiując kogranicę jako obiekt początkowy w kategorii kostożków.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Wyd. 2nd ed. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.