Przejdź do zawartości

Kategoria (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Kategoria – pojęcie wyodrębniające pewne algebraiczne własności rodzin morfizmów między obiektami matematycznymi tego samego typu, np. zbiorów, przestrzeni topologicznych, przestrzeni liniowych, grup itp. Zakłada się, że taka rodzina zawiera odwzorowanie tożsamościowe i jest zamknięta ze względu na wykonywanie superpozycji (iloczynu) odwzorowań. Teoria kategorii jest działem matematyki zapoczątkowanym w 1945 przez Eilenberga i Mac Lane’a[1][2][a]

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Formalnie każda kategoria składa się z dwóch klas[b][3]:

  • klasy której elementy nazywamy obiektami kategorii
  • klasy której elementy nazywamy morfizmami (lub strzałkami) kategorii przy czym spełnione mają być następujące warunki:
    • każdej parze uporządkowanej dwóch obiektów przyporządkowana jest klasa morfizmów z do oznaczana też czasem lub Jeżeli to obiekt nazywamy początkiem lub dziedziną morfizmu a – jego końcem lub kodziedziną; zamiast pisze się też
    • każdy morfizm należy do tylko jednej klasy
    • w klasie określone jest częściowe prawo mnożenia: iloczyn morfizmów jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy gdy warunek ten jest spełniony, iloczyn do zbioru Nazywamy go złożeniem morfizmów i oraz oznaczamy lub
    • złożenie morfizmów jest łączne: jeżeli oraz to wówczas
    • do każdego należy taki morfizm że dla dowolnych morfizmów i mamy oraz Morfizmy nazywa się morfizmami identycznościowymi, morfizmami tożsamościowymi lub jednościami.

Z aksjomatów tych wynika, że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli to piszemy i

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów klasa jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty, morfizmy i regułę składania morfizmów.

  • Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensemble). Jej obiektami są zbiory, a morfizmami są odwzorowania ze zbioru w zbiór. jest zbiorem odwzorowań zbioru w zbiór Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań.
  • Kategoria Gr (niekiedy Grp), której obiektami są grupy, a morfizmami homomorfizmy. jest zbiorem homomorfizmów grupy w grupę Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria Ab, której obiektami są grupy abelowe, a morfizmy są ich homomorfizmami. jest zbiorem homomorfizmów grupy w grupę Złożeniem morfizmów jest złożenie homomorfizmów.
  • Kategoria VectK, której obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem a morfizmy są odwzorowaniami -liniowymi. jest zbiorem odwzorowań liniowych przestrzeni w przestrzeń Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań liniowych.
  • Kategoria Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami – odwzorowania nierozszerzające. jest zbiorem odwzorowań nierozszerzających przestrzeni w przestrzeń Złożeniem morfizmów jest złożenie odwzorowań nierozszerzających.
  • Kategoria Top, której obiektami są przestrzenie topologiczne, a morfizmami są przekształcenia ciągłe. jest zbiorem przekształceń ciągłych przestrzeni w przestrzeń Złożeniem morfizmów jest złożenie przekształceń.
  • Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
  • Kategoria Rel Ens relacji dwuargumentowych (binarnych) na zbiorach; klasa obiektów tej kategorii pokrywa się z klasą ObEns, a morfizmami ze zbioru w zbiór są wszystkie relacje dwuargumentowe między tymi zbiorami, tzn. podzbiory zbioru złożenie morfizmów jest składaniem relacji.
  • Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponadto dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) istnieje morfizm z do wtedy i tylko wtedy, gdy Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
  • Każdy monoid można traktować jako kategorię z dokładnie jednym obiektem, przy czym morfizmy odpowiadają elementom monoidu.

Do każdej kategorii można utworzyć jej kategorię dualną

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]
  1. Teorii kategorii nie należy mylić z kategoriami Baire'a.
  2. Takie sformułowanie wymaga odpowiedniego systemu aksjomatów teorii mnogości, aby uniknąć antynomii zbioru wszystkich zbiorów; p. Teoria kategorii, część Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Eilenberg i Mac Lane 1945 ↓.
  2. Kategoria, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-24].
  3. Советская энциклопедия, t. 2, op. cit., s. 761.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Literatura dodatkowa

[edytuj | edytuj kod]
Polskojęzyczna
Obcojęzyczna
  • Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1971. ISBN 3-540-90036-5.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 2. Москва: Советская энциклопедия, 1979.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]