Przejdź do zawartości

Lemat Yonedy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Lemat Yonedy – podstawowe narzędzie w wielu zagadnieniach teorii kategorii i w jej zastosowaniach do innych dziedzin matematyki, zwłaszcza do geometrii algebraicznej. Lemat ten dotyczy funktorów reprezentowalnych poprzez funktory główne (zwane też hom-funktorami) i opisuje ogólną postać transformacji naturalnych tych funktorów. Stosuje się go m.in. przy zanurzaniu danej kategorii w kategorię funktorów oraz przy pewnych zagadnieniach jednoznacznej faktoryzacji[a].

Sformułowanie lematu Yonedy

[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest kategorią lokalnie małą. Zbiór morfizmów kategorii będziemy oznaczać symbolem Symbolem oznaczymy kowariantny funktor główny, przyporządkowujący każdemu morfizmowi indukowane przekształcenie zbioru w zbiór określone wzorem dla

Lemat Yonedy[1][2][3]. Załóżmy, że jest ustalonym obiektem w jest funktorem kowariantnym, a jest transformacją naturalną funktora w funktor Wówczas istnieje dokładnie jeden element taki, że

dla
(1)

gdzie element dany jest wzorem

(2)

Odwrotnie, jeśli jest dowolnym funktorem kowariantnym, i określimy element wzorem (2) to (1) wyznacza transformację naturalną Ponadto przyporządkowanie jest wzajemnie jednoznaczne.

Proof of Yoneda’s lemma
Proof of Yoneda’s lemma


Na powyższym schemacie diagram zewnętrzny ilustruje złożenia morfizmów (jest przemienny na mocy definicji transformacji naturalnej), a diagram wewnętrzny ilustruje przyporządkowania elementów.

Dowód lematu Yonedy polega na bezpośrednim sprawdzeniu ujawniających się tu zależności.

Kontrawariantna wersja lematu Yonedy dotyczy kontrawariantnego funktora głównego Rozumowania są analogiczne.

  1. Lematu tego użył w 1954 japoński matematyk i informatyk Nobuo Yoneda (1930–1996) w pracy o homologii modułów. Termin lemat Yonedy wprowadził Saunders Mac Lane po długiej rozmowie z Yonedą na dworcu Gare du Nord w Paryżu ok. 1957 [1], [2].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 4.3.
  2. Mac Lane 1971 ↓, s. 59.
  3. Bardziej zaawansowaną postać daje M. Zawadowski, Elementy teorii kategorii, lemat 3.1.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]